(4.) Considere a função \( f \), definida em \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \) por \( f(x)=-3 \tan x-2 \cos x \) Sabe-se que \( \cos \left(-\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\frac{3}{5} \). 4.1 Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de \( f(\alpha) \). 4.2 Mostre que \( f(x)=\frac{2 \sin ^{2} x-3 \sin x-2}{\cos x} \). 4.3 Resolva a equação \( f(x)=0 \).

Vamos resolver cada uma das partes do problema de forma detalhada. ### 4.1 Determinar, sem recorrer à calculadora, o valor de \( f(\alpha) \). Dada a função: \[ f(x) = -3 \tan x - 2 \cos x \] E a informação: \[ \cos\left(-\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\frac{3}{5} \] **Passos:** 1. **Simplificar o argumento do cosseno:** \[ \cos\left(-\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \] Isso porque \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\). 2. **Expressar \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\):** \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) \] (Usando a identidade trigonométrica \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha)\)). 3. **Determinar \(\sin(\alpha)\):** \[ \sin(\alpha) = -\frac{3}{5} \] 4. **Calcular \(\cos(\alpha)\):** \[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] 5. **Calcular \(\tan(\alpha)\):** \[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] 6. **Substituir na função \( f(\alpha) \):** \[ f(\alpha) = -3 \tan(\alpha) - 2 \cos(\alpha) = -3 \left(-\frac{3}{4}\right) - 2 \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{4} - \frac{8}{5} \] 7. **Calcular a diferença:** \[ f(\alpha) = \frac{45}{20} - \frac{32}{20} = \frac{13}{20} \] **Resposta:** \[ f(\alpha) = \frac{13}{20} \] ### 4.2 Mostrar que \( f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} \). **Passos:** 1. **Expressar \( f(x) \) em termos de funções seno e cosseno:** \[ f(x) = -3 \tan x - 2 \cos x = -3 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) - 2 \cos x = \frac{-3 \sin x - 2 \cos^{2}x}{\cos x} \] 2. **Utilizar a identidade trigonométrica \( \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x \):** \[ -3 \sin x - 2 \cos^{2}x = -3 \sin x - 2 (1 - \sin^{2}x) = -3 \sin x - 2 + 2 \sin^{2}x \] 3. **Reorganizar os termos:** \[ -3 \sin x - 2 + 2 \sin^{2}x = 2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2 \] 4. **Substituir de volta na expressão de \( f(x) \):** \[ f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} \] **Resposta:** \[ f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} \] ### 4.3 Resolver a equação \( f(x) = 0 \). Dada a equação: \[ f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} = 0 \] Como \(\cos x \neq 0\) no intervalo \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \), podemos multiplicar ambos os lados por \(\cos x\): \[ 2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2 = 0 \] **Passos:** 1. **Substituir \( y = \sin x \):** \[ 2 y^{2} - 3 y - 2 = 0 \] 2. **Resolver a equação quadrática:** \[ \Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] \[ y_{1} = \frac{8}{4} = 2 \quad (\text{Não é possível, pois } |\sin x| \leq 1) \] \[ y_{2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 3. **Determinar \( x \) tal que \( \sin x = -\frac{1}{2} \) no intervalo \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \):** \[ x = -\frac{\pi}{6} \] **Resposta:** \[ x = -\frac{\pi}{6} \]