Resolver los siguientes ejercicios mostrando un procedimiento completo y anotando lespuesta final a tinta azul 1.- En una biblioteca, el \( 20 \% \) de los libros son de ciencia, \( 35 \% \) son de historia, y \( 45 \% \) son de literatura. Si se eligen 4 libros al azar, ¿̇cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente 2 libros sean de literatura. b) Ningún libro sea de ciencia. c) Al menos un libro sea de historia. 2.- En un hospital, el número de llegadas de ambulancias sigue una distribución de Poisson con una media de 3llegadas por hora. Además, el tiempo entre llegadas sigue una distribución geométrica con una tasa de 0.2

Para resolver el primer ejercicio, vamos a utilizar la fórmula de probabilidad binomial. La fórmula necesaria se expresa como: \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] donde \( n \) es el número total de pruebas (libros elegidos), \( k \) es el número de éxitos (libros de literatura), y \( p \) es la probabilidad de éxito (en este caso, un libro de literatura). ### 1. Cálculo de Probabilidades Los porcentajes de libros son: - \( p_{literatura} = 0.45 \) - \( p_{ciencia} = 0.20 \) - \( p_{historia} = 0.35 \) **a) Exactamente 2 libros de literatura:** \[ n = 4, k = 2, p = 0.45 \] \[ P(X=2) = \binom{4}{2} (0.45)^2 (0.55)^2 \] \[ = 6 \cdot 0.2025 \cdot 0.3025 \approx 0.365 \] **b) Ningún libro sea de ciencia:** La probabilidad de que un libro no sea de ciencia: \[ p_{no-ciencia} = 1 - p_{ciencia} = 0.80 \] \[ P(X=0) = (0.80)^4 \approx 0.4096 \] **c) Al menos un libro sea de historia:** Primero calculamos la probabilidad de que no haya libros de historia (usamos \( p_{no-historia} = 0.65 \)): \[ P(0 \, libros \, de \, historia) = (0.65)^4 \approx 0.179 \] Por lo tanto: \[ P(\text{al menos un libro de historia}) = 1 - P(0 \, libros \, de \, historia) \approx 1 - 0.179 = 0.821 \] Las respuestas finales a los ejercicios son: a) \( \approx 0.365 \) b) \( \approx 0.4096 \) c) \( \approx 0.821 \) --- Para el segundo ejercicio, que trata sobre la distribución de llegadas de ambulancias, vamos a utilizar la distribución de Poisson. El parámetro \(\lambda\) es igual a 3 en este caso. **Número de llegadas en una hora:** La probabilidad de que ocurran \(k\) llegadas en un intervalo de tiempo se expresa como: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] **a. Calcular la probabilidad de que lleguen 2 ambulancias en una hora:** \[ P(X = 2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2} \approx \frac{9 \cdot 0.0498}{2} \approx 0.224 \] **b. Tiempo entre llegadas de ambulancias (distribución geométrica):** Para la distribución geométrica, donde la tasa es \(0.2\), la probabilidad de que el tiempo hasta la siguiente llegada sea \(k\) es: \[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \] donde \(p = 0.2\). **Por ejemplo, la probabilidad de que la siguiente llegada sea en el segundo minuto:** \[ P(X = 2) = (0.8)^1 \cdot 0.2 = 0.16 \] Los resultados indican que la probabilidad de que lleguen 2 ambulancias en una hora es \( \approx 0.224 \) y la probabilidad de que la siguiente llegada sea en el segundo minuto es \( \approx 0.16 \).