Resolver los siguientes ejercicios mostrando un procedimiento completo y anotando lespuesta final a tinta azul
1.- En una biblioteca, el de los libros son de ciencia, son de historia, y son de literatura. Si se
eligen 4 libros al azar, ¿̇cuál es la probabilidad de que:
a) Exactamente 2 libros sean de literatura.
b) Ningún libro sea de ciencia.
c) Al menos un libro sea de historia.
2.- En un hospital, el número de llegadas de ambulancias sigue una distribución de Poisson con una media de
3llegadas por hora. Además, el tiempo entre llegadas sigue una distribución geométrica con una tasa de 0.2

Ask by Wheeler Norris. in Mexico

Nov 22,2024

Question

Resolver los siguientes ejercicios mostrando un procedimiento completo y anotando lespuesta final a tinta azul
1.- En una biblioteca, el de los libros son de ciencia, son de historia, y son de literatura. Si se
eligen 4 libros al azar, ¿̇cuál es la probabilidad de que:
a) Exactamente 2 libros sean de literatura.
b) Ningún libro sea de ciencia.
c) Al menos un libro sea de historia.
2.- En un hospital, el número de llegadas de ambulancias sigue una distribución de Poisson con una media de
3llegadas por hora. Además, el tiempo entre llegadas sigue una distribución geométrica con una tasa de 0.2

Ask by Wheeler Norris. in Mexico

Nov 22,2024

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver los ejercicios planteados, utilizaremos conceptos de probabilidad y combinatoria. A continuación, se presenta el procedimiento completo para cada inciso.

### Ejercicio 1

**Datos:**
- $$ P(L) = 0.45 $$ (probabilidad de que un libro sea de literatura)
- $$ P(H) = 0.35 $$ (probabilidad de que un libro sea de historia)
- $$ P(C) = 0.20 $$ (probabilidad de que un libro sea de ciencia)

**Total de libros seleccionados:** 4

#### a) Probabilidad de que exactamente 2 libros sean de literatura.

Utilizaremos la distribución binomial, donde:
- $$ n = 4 $$ (número de libros seleccionados)
- $$ k = 2 $$ (número de libros de literatura)
- $$ p = 0.45 $$ (probabilidad de que un libro sea de literatura)
- $$ q = 1 - p = 0.55 $$ (probabilidad de que un libro no sea de literatura)

La fórmula de la probabilidad binomial es:

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.45)^2 (0.55)^{4-2}
$$

Calculamos:

$$
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
$$

Ahora, calculamos $$ (0.45)^2 $$ y $$ (0.55)^2 $$:

$$
(0.45)^2 = 0.2025
$$
$$
(0.55)^2 = 0.3025
$$

Sustituyendo en la fórmula:

$$
P(X = 2) = 6 \times 0.2025 \times 0.3025
$$
$$
P(X = 2) = 6 \times 0.06140625 = 0.3684375
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 2 libros sean de literatura es:

$$
\text{Respuesta: } \textcolor{blue}{0.3684}
$$

#### b) Probabilidad de que ningún libro sea de ciencia.

La probabilidad de que un libro no sea de ciencia es $$ P(\text{no C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.20 = 0.80 $$.

Usamos la fórmula de la probabilidad de que todos los libros seleccionados no sean de ciencia:

$$
P(\text{no C en 4 libros}) = (P(\text{no C}))^n = (0.80)^4
$$

Calculamos:

$$
(0.80)^4 = 0.4096
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que ningún libro sea de ciencia es:

$$
\text{Respuesta: } \textcolor{blue}{0.4096}
$$

#### c) Probabilidad de que al menos un libro sea de historia.

La probabilidad de que al menos un libro sea de historia se puede calcular como el complemento de que ningún libro sea de historia.

La probabilidad de que un libro no sea de historia es $$ P(\text{no H}) = 1 - P(H) = 1 - 0.35 = 0.65 $$.

Entonces, la probabilidad de que ninguno de los 4 libros sea de historia es:

$$
P(\text{no H en 4 libros}) = (P(\text{no H}))^n = (0.65)^4
$$

Calculamos:

$$
(0.65)^4 = 0.179625
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos un libro sea de historia es:

$$
P(\text{al menos 1 H}) = 1 - P(\text{no H en 4 libros}) = 1 - 0.179625 = 0.820375
$$

La probabilidad de que al menos un libro sea de historia es:

$$
\text{Respuesta: } \textcolor{blue}{0.8204}
$$

### Ejercicio 2

**Datos:**
- Media de llegadas por hora $$ \lambda = 3 $$
- Tasa de la distribución geométrica $$ p = 0.2 $$

#### a) Probabilidad de que lleguen exactamente $$ k $$ ambulancias en una hora.

La probabilidad de que lleguen $$ k $$ ambulancias en un intervalo de tiempo $$ t $$ sigue una distribución de Poisson:

$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
$$

Para calcular la probabilidad de que lleguen exactamente $$ k $$ ambulancias, sustituimos $$ \lambda = 3 $$.

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 2 ambulancias:

$$
P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!}
$$

Calculamos:

$$
P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 9}{2} = \frac{9e^{-3}}{2}
$$

Usando $$ e^{-3} \approx 0.04979 $$:

$$
P(X = 2) \approx \frac{9 \cdot 0.04979}{2} \approx 0.223
$$

La probabilidad de que lleguen exactamente 2 ambulancias es:

$$
\text{Respuesta: } \textcolor{blue}{0.223}
$$

#### b) Tiempo entre llegadas de ambulancias.

El tiempo entre llegadas sigue una distribución geométrica con tasa $$ p = 0.2 $$. La probabilidad de que el tiempo hasta la siguiente llegada sea $$ k $$ es:

$$
P(T = k) = (1 - p)^{k-1} p
$$

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que la siguiente ambulancia llegue en 3 minutos:

$$
P(T = 3) = (0.8)^{3-1} \cdot 0.2 = (0.8)^2 \cdot 0.2 = 0.64 \cdot 0.2 = 0.128
$$

La probabilidad de que la siguiente ambulancia llegue en 3 minutos es:

$$
\text{Respuesta: } \textcolor{blue}{0.128}
$$

Con esto, hemos resuelto los ejercicios planteados.
1. a) La probabilidad de que exactamente 2 libros sean de literatura es 0.3684. b) La probabilidad de que ningún libro sea de ciencia es 0.4096. c) La probabilidad de que al menos un libro sea de historia es 0.8204. 2. a) La probabilidad de que lleguen exactamente 2 ambulancias en una hora es 0.223. b) La probabilidad de que la siguiente ambulancia llegue en 3 minutos es 0.128.

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Answer

Solution

Ejercicio 1

a) Probabilidad de que exactamente 2 libros sean de literatura.

b) Probabilidad de que ningún libro sea de ciencia.

c) Probabilidad de que al menos un libro sea de historia.

Ejercicio 2

a) Probabilidad de que lleguen exactamente ambulancias en una hora.

b) Tiempo entre llegadas de ambulancias.

Extra Insights

1. Cálculo de Probabilidades

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