My MB über mathebattle Hilfe News Ausloggen eingeloggt als \( B K-E G B W \) Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}: 2 x_{1}-2 x_{3}=-4 \) und \( \mathrm{E}_{2}:-x_{1}+x_{3}=6 \). Die Ebene \( F \) ist parallel zu \( E_{1} \) und \( E_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F. \[ \mathrm{F}:+\hat{*} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} \square \]

Zuerst sollten wir die Normalvektoren der Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) bestimmen, um zu verstehen, wie sie ausgerichtet sind. Die Gleichung \( E_1: 2x_1 - 2x_3 = -4 \) hat den Normalvektor \( \vec{n_1} = (2, 0, -2) \). Für die Ebene \( E_2: -x_1 + x_3 = 6 \) ist der Normalvektor \( \vec{n_2} = (-1, 0, 1) \). Da \( \vec{n_1} \) und \( \vec{n_2} \) parallele Richtungen haben, können wir eine gemeinsame Normalenform für \( F \) verwenden. Um die Gleichung für die Ebene \( F \) zu bestimmen, nehmen wir den gleichen Normalvektor wie \( E_1 \) oder \( E_2 \) und setzen einen Abstand \( d \) fest. Die allgemeine Formel für die Distanz \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen ist gleich. Wenn wir den Abstand zwischen \( E_1 \) und \( E_2 \) berechnen, können wir \( F \) entsprechend anpassen. Nun muss der Abstand \( d \) zwischen den Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) bestimmt werden, um die Gleichung von \( F \) zu bekommen. Die endgültige Gleichung wird die Form haben: \[ F: 2x_1 + 0x_2 - 2x_3 = c \] Hierbei setzt du \( c \) gleich, sodass der Abstand zwischen \( E_1 \) und \( F \) bzw. zwischen \( F \) und \( E_2 \) gleich ist!