Stabilisci per quale valore di a le due rette di equazioni $$ -x+2 y-1=0 $$ e $$ a x+(a-1) y=1 $$ risultano parallele.

Question

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Per determinare il valore di $$ a $$ per cui le due rette sono parallele, consideriamo le equazioni delle rette:

1. Prima retta: $$ -x + 2y - 1 = 0 $$
2. Seconda retta: $$ a x + (a - 1) y - 1 = 0 $$

Due rette sono parallele se i loro coefficienti angolari sono proporzionali. I coefficienti angolari possono essere determinati considerando i termini di $$ x $$ e $$ y $$ delle equazioni.

Per la prima retta:
- Coefficiente di $$ x $$: $$ A_1 = -1 $$
- Coefficiente di $$ y $$: $$ B_1 = 2 $$

Per la seconda retta:
- Coefficiente di $$ x $$: $$ A_2 = a $$
- Coefficiente di $$ y $$: $$ B_2 = a - 1 $$

Le rette sono parallele se esiste un numero $$ k $$ tale che:
$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} $$

Sostituendo i valori:
$$ \frac{-1}{a} = \frac{2}{a - 1} $$

Risolviamo l'equazione:
$$
\begin{align*}
\frac{-1}{a} &= \frac{2}{a - 1} \
-1 \cdot (a - 1) &= 2a \
-a + 1 &= 2a \
1 &= 3a \
a &= \frac{1}{3}
\end{align*}
$$

**Conclusione:** Il valore di $$ a $$ che rende le due rette parallele è $$ \boxed{\dfrac{1}{3}} $$.
Il valore di $$ a $$ che rende le due rette parallele è $$ \dfrac{1}{3} $$.

Stabilisci per quale valore di a le due rette di equazioni e risultano parallele.

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