Stabilisci per quale valore di a le due rette di equazioni \( -x+2 y-1=0 \) e \( a x+(a-1) y=1 \) risultano parallele.

Per stabilire per quale valore di \( a \) le due rette siano parallele, dobbiamo confrontare i loro coefficienti angolari. La prima retta \( -x + 2y - 1 = 0 \) può essere riscritta nella forma \( y = mx + q \): \[ 2y = x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] Quindi, il coefficiente angolare della prima retta è \( m_1 = \frac{1}{2} \). Per la seconda retta \( a x + (a - 1)y = 1 \), possiamo riscriverla in modo simile: \[ (a-1)y = -ax + 1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{a}{a-1}x + \frac{1}{a-1} \] Il coefficiente angolare della seconda retta è \( m_2 = -\frac{a}{a-1} \). Le due rette sono parallele quando i loro coefficienti angolari sono uguali, quindi impostiamo: \[ \frac{1}{2} = -\frac{a}{a-1} \] Per risolvere questa equazione, moltiplichiamo entrambi i lati per \( 2(a - 1) \): \[ a - 1 = -2a \] Raccogliendo i termini, otteniamo: \[ 3a - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3} \] Quindi, il valore di \( a \) per cui le due rette risultano parallele è \( a = \frac{1}{3} \).