P1. (25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
(ervicios que maximiza la utilidad.

Ask by Cook Norton. in Chile

Jan 05,2025

Question

P1. (25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
(ervicios que maximiza la utilidad.

Ask by Cook Norton. in Chile

Jan 05,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

(a) **Determinación del número de servicios que maximiza la utilidad utilizando el criterio de la segunda derivada**

Para maximizar la utilidad, primero definimos la función de utilidad $$ U(x) $$ como la diferencia entre los ingresos y los costos:

$$
U(x) = p(x) \cdot x - C(x)
$$

Dadas las funciones:

$$
C(x) = 1200 + 25x - 0.0001x^2
$$
$$
p(x) = 55 - \frac{x}{1000}
$$

Sustituyendo $$ p(x) $$ y $$ C(x) $$ en la función de utilidad:

$$
U(x) = \left(55 - \frac{x}{1000}\right)x - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right)
$$
$$
U(x) = 55x - \frac{x^2}{1000} - 1200 - 25x + 0.0001x^2
$$
$$
U(x) = 30x - 1200 - 0.0009x^2
$$

Simplificando:

$$
U(x) = -0.0009x^2 + 30x - 1200
$$

**Paso 1: Encontrar la primera derivada y el punto crítico**

Calculamos la primera derivada de $$ U(x) $$:

$$
U'(x) = \frac{dU}{dx} = -0.0018x + 30
$$

Encontramos el punto crítico al igualar la primera derivada a cero:

$$
-0.0018x + 30 = 0
$$
$$
0.0018x = 30
$$
$$
x = \frac{30}{0.0018} \approx 16666.67
$$

**Paso 2: Verificar la naturaleza del punto crítico utilizando la segunda derivada**

Calculamos la segunda derivada de $$ U(x) $$:

$$
U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -0.0018
$$

Como $$ U''(x) < 0 $$, la función tiene un máximo en $$ x \approx 16666.67 $$.

**Interpretación:**

El número de servicios que maximiza la utilidad de la empresa es aproximadamente **16,667 servicios**. Esto significa que, al ofrecer este número de servicios, la empresa alcanza el nivel óptimo de beneficio bajo las condiciones dadas.
Para maximizar la utilidad, la empresa debe ofrecer aproximadamente **16,667 servicios**.

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Answer

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