Resuelva el siguiente problema relacionado con planos en el espacio utilizando los conceptos teóricos correspondientes | A. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos: $$ P(2,1,-4), Q(-5,4,3) $$ y $$ R(-2,6,3) $$.

Question

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Para determinar la ecuación normal del plano que contiene los puntos $$ P(2,1,-4) $$, $$ Q(-5,4,3) $$ y $$ R(-2,6,3) $$, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Encontrar dos vectores en el plano**: Para ello, podemos calcular los vectores $$ \vec{PQ} $$ y $$ \vec{PR} $$.

$$
   \vec{PQ} = Q - P = (-5 - 2, 4 - 1, 3 - (-4)) = (-7, 3, 7)
   $$

$$
   \vec{PR} = R - P = (-2 - 2, 6 - 1, 3 - (-4)) = (-4, 5, 7)
   $$

2. **Calcular el producto cruzado**: El vector normal al plano se puede encontrar mediante el producto cruzado de los vectores $$ \vec{PQ} $$ y $$ \vec{PR} $$.

$$
   \vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   -7 & 3 & 7 \
   -4 & 5 & 7
   \end{vmatrix}
   $$

Calculamos el determinante:

$$
   \vec{n} = \hat{i} \begin{vmatrix}
   3 & 7 \
   5 & 7
   \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix}
   -7 & 7 \
   -4 & 7
   \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix}
   -7 & 3 \
   -4 & 5
   \end{vmatrix}
   $$

Calculamos cada uno de los determinantes:

$$
   \begin{vmatrix}
   3 & 7 \
   5 & 7
   \end{vmatrix} = (3)(7) - (5)(7) = 21 - 35 = -14
   $$

$$
   \begin{vmatrix}
   -7 & 7 \
   -4 & 7
   \end{vmatrix} = (-7)(7) - (7)(-4) = -49 + 28 = -21
   $$

$$
   \begin{vmatrix}
   -7 & 3 \
   -4 & 5
   \end{vmatrix} = (-7)(5) - (3)(-4) = -35 + 12 = -23
   $$

Sustituyendo en la expresión del producto cruzado:

$$
   \vec{n} = -14 \hat{i} + 21 \hat{j} - 23 \hat{k} = (-14, 21, -23)
   $$

3. **Ecuación del plano**: La ecuación del plano en forma normal se puede expresar como:

$$
   n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0
   $$

Donde $$ (n_1, n_2, n_3) $$ son las componentes del vector normal $$ \vec{n} $$ y $$ (x_0, y_0, z_0) $$ es un punto en el plano, que podemos tomar como $$ P(2, 1, -4) $$.

Sustituyendo:

$$
   -14(x - 2) + 21(y - 1) - 23(z + 4) = 0
   $$

Simplificando:

$$
   -14x + 28 + 21y - 21 - 23z - 92 = 0
   $$

$$
   -14x + 21y - 23z - 85 = 0
   $$

Finalmente, podemos reordenar la ecuación:

$$
   14x - 21y + 23z = 85
   $$

Por lo tanto, la ecuación normal del plano que contiene los puntos $$ P $$, $$ Q $$ y $$ R $$ es:

$$
14x - 21y + 23z = 85
$$
La ecuación normal del plano que contiene los puntos $$ P(2,1,-4) $$, $$ Q(-5,4,3) $$ y $$ R(-2,6,3) $$ es $$ 14x - 21y + 23z = 85 $$.

Resuelva el siguiente problema relacionado con planos en el espacio utilizando los conceptos teóricos correspondientes | A. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos: \( P(2,1,-4), Q(-5,4,3) \) y \( R(-2,6,3) \).

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