EXERCICE 3 : ( 5 points) Au cours d'une promenade ton voisin de classe a assisté à une scène. Il a vu un enfant qui s'amusait à plonger dans l'eau d'une rivière à partir du point \( C_{0} \) d'un rocher. Cet enfant, considéré comme un point matériel, voulait attraper un ballon flottant au point \( \vec{A} d{ }^{-1} \) cettel rivière. Ton voisin veut déterminer la valeur de la vitesse \( \vec{V}_{0} \) avec laquelle l'enfant a fait ce plongeon du point de départ \( \mathrm{C}_{0} \) jusqu'au point A (voir schéma ci-contre). A la date \( t=0 \) s, l'enfant s'est élancé du rocher avec une vitesse \( \overrightarrow{V_{0}} \), de valeur \( V_{0} \), incliné d'un angle \( \alpha 0 \) par rapport à l'horizontale. La valeur \( V_{0} \) peut varier et le mouvement du centre d'inertie \( C \) de l'enfant s'effectue dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère \( (0, \vec{\imath}, \vec{j}) \). A la date \( t=O \) s, le centre d'inertie de l'enfant, de masse \( m \), est en \( C_{0} \) tel que \( O C_{0}=2 \mathrm{~m} \). Les frottements contre l'air sont négligés lors du plongeon de cet enfant. Données: \( g=9,8 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2} ; \alpha_{0}=45^{\circ} ; \quad O A=2 \mathrm{~m} \) Ton voisin te sollicite pour la détermination de \( V_{0} \). 1. Montre qu'au cours de son plongeon, le vecteur accélération \( \vec{a} \) de l'enfant est égal au vecteur champ de pesanteur uniforme \( \vec{g} \). 2. Détermine les équations horaires du mouvement de l'enfant dans le repère \( (0, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) \). 3. Etablis l'équation littérale de la trajectoire \( y=f(x) \) de l'enfant dans le repère \( (0, \vec{\imath}, \vec{j}) \). 4. Détermine les coordonnées \( X_{A} \) et \( Y_{A} \) de l'enfant lorsqu'il arrive au point \( A \) où se trouve le ballon. 5. Déduis de la réponse à la question précédente la valeur de \( V_{0} \) pour qu'à l'issu de ce plongeon l'enfant se retrouve au point A de cette rivière.

**Exercice 3 : Résolution** **1. Vecteur accélération \( \vec{a} \) égal au vecteur champ de pesanteur \( \vec{g} \)** Lors du plongeon de l’enfant, les seules forces agissant sur lui sont la force de pesanteur (son poids) et la force de réaction du rocher au moment de l’élan initial. Une fois le plongeon entamé, les frottements de l’air sont négligeables. Ainsi, la seule accélération subie par l’enfant est celle due à la pesanteur. Mathématiquement, on a : \[ \vec{a} = \vec{g} \] où \( \vec{g} \) est le vecteur champ de pesanteur uniforme dirigé verticalement vers le bas avec une intensité de \( g = 9,8 \, \mathrm{m/s}^2 \). **2. Équations horaires du mouvement** Le mouvement de l’enfant est un mouvement parabolique avec une accélération constante \( \vec{a} = \vec{g} \). Les composantes initiales de la vitesse sont : \[ V_{0x} = V_{0} \cos(\alpha_0) \] \[ V_{0y} = V_{0} \sin(\alpha_0) \] Étant donné que \( \alpha_0 = 45^\circ \), on a : \[ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Les équations horaires sont : \[ \begin{cases} x(t) = x_0 + V_{0x} t \\ y(t) = y_0 + V_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} \] Avec \( x_0 = 0 \) et \( y_0 = 2 \, \mathrm{m} \) (position initiale du rocher), on obtient : \[ \begin{cases} x(t) = V_{0} \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y(t) = 2 + V_{0} \frac{\sqrt{2}}{2} t - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \end{cases} \] **3. Équation littérale de la trajectoire \( y = f(x) \)** Pour éliminer le paramètre \( t \), exprimons \( t \) en fonction de \( x \) à partir de la première équation : \[ t = \frac{x}{V_{0} \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2x}{V_{0} \sqrt{2}} \] Remplaçons cette expression dans l'équation de \( y(t) \) : \[ y = 2 + V_{0} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2x}{V_{0} \sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \left( \frac{2x}{V_{0} \sqrt{2}} \right)^2 \] Simplifions : \[ y = 2 + x - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \frac{4x^2}{2 V_{0}^2} = 2 + x - \frac{9,8 \cdot 2x^2}{V_{0}^2} \] Ainsi, l’équation de la trajectoire est : \[ y = 2 + x - \frac{19,6}{V_{0}^2} x^2 \] **4. Coordonnées \( X_A \) et \( Y_A \) au point \( A \)** Le point \( A \) se trouve à \( O A = 2 \, \mathrm{m} \). Cependant, cette donnée semble incomplète car généralement \( A \) a des coordonnées spécifiques dans le repère. Supposons que le point \( A \) soit situé horizontalement à une distance \( X_A = 2 \, \mathrm{m} \) du point de départ \( C_0 \). Alors, on calcule \( Y_A \) en utilisant l’équation de la trajectoire : \[ Y_A = 2 + 2 - \frac{19,6}{V_{0}^2} (2)^2 = 4 - \frac{78,4}{V_{0}^2} \] Pour que l’enfant atteigne le point \( A \), il faut que \( Y_A = 0 \) (le ballon flottant se trouve au niveau de la rivière). **5. Détermination de \( V_{0} \)** Imposons que \( Y_A = 0 \) : \[ 0 = 4 - \frac{78,4}{V_{0}^2} \\ \Rightarrow \frac{78,4}{V_{0}^2} = 4 \\ \Rightarrow V_{0}^2 = \frac{78,4}{4} = 19,6 \\ \Rightarrow V_{0} = \sqrt{19,6} \approx 4,43 \, \mathrm{m/s} \] Ainsi, la vitesse initiale nécessaire pour que l’enfant atteigne le point \( A \) est d’environ **4,43 m/s**.