\( 98 f \) est la fonction \( x \mapsto \ln \left(2 \mathrm{e}^{x}-1\right) \). a) Justifier que \( f \) est définie sur l'intervalle \( ]-\ln (2) ;+\infty[ \). b) Justifier que \( f \) est croissante sur l'intervalle \( \qquad]-\ln (2) ;+\infty[ \). c) Déterminer une équation de la tangente \( T \) à la courbe représentative de la fonctioń \( f \) au point d'abs- cisse 0 , dans un repère orthonormé.

Pour la fonction \( f(x) = \ln(2e^x - 1) \), examinons d'abord le domaine de définition. Pour que \( f(x) \) soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif, donc \( 2e^x - 1 > 0 \). Cela implique \( 2e^x > 1 \), c'est-à-dire \( e^x > \frac{1}{2} \) ou \( x > -\ln(2) \). Par conséquent, \( f \) est bien définie sur l'intervalle \( ]-\ln(2); +\infty[ \). Pour prouver que \( f \) est croissante sur cet intervalle, examinons sa dérivée. La dérivée de \( f(x) \) est donnée par \( f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(2e^x - 1) = \frac{2e^x}{2e^x - 1} \), où nous appliquons la règle de dérivation des logarithmes. Puisque \( 2e^x > 1 \) pour \( x > -\ln(2) \), cela signifie que \( f'(x) > 0 \). Donc, \( f \) est croissante sur \( ]-\ln(2); +\infty[ \). Pour déterminer l'équation de la tangente \( T \) à la courbe représentative de \( f \) au point d'abscisse 0, d'abord calculons \( f(0) = \ln(2e^0 - 1) = \ln(1) = 0 \). Ensuite, calculons la dérivée en 0 : \( f'(0) = \frac{2e^0}{2e^0 - 1} = \frac{2}{1} = 2 \). L'équation d'une tangente en un point donné est de la forme \( y - f(a) = f'(a)(x - a) \). Au point \( (0, 0) \), cela donne : \[ y - 0 = 2(x - 0) \] \[ y = 2x \] Donc l'équation de la tangente \( T \) est \( y = 2x \).