$$ 98 f $$ est la fonction $$ x \mapsto \ln \left(2 \mathrm{e}^{x}-1\right) $$. a) Justifier que $$ f $$ est définie sur l'intervalle $$ ]-\ln (2) ;+\infty[ $$. b) Justifier que $$ f $$ est croissante sur l'intervalle $$ \qquad]-\ln (2) ;+\infty[ $$. c) Déterminer une équation de la tangente $$ T $$ à la courbe représentative de la fonctioń $$ f $$ au point d'abs- cisse 0 , dans un repère orthonormé.

Question

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**a) Justification du domaine de définition de $$ f $$**

Pour que la fonction $$ f $$ soit définie, l'argument du logarithme naturel doit être strictement positif. Ainsi, nous devons résoudre l'inéquation suivante :

$$
2 e^{x} - 1 > 0
$$

Ajoutons $$ 1 $$ de chaque côté :

$$
2 e^{x} > 1
$$

Divisons par $$ 2 $$ :

$$
e^{x} > \frac{1}{2}
$$

En appliquant le logarithme naturel des deux côtés, on obtient :

$$
x > \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)
$$

Ainsi, la fonction $$ f $$ est définie pour tout $$ x $$ appartenant à l'intervalle ouvert $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$.

---

**b) Justification de la croissance de $$ f $$ sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$**

Pour déterminer la monotonie de $$ f $$, calculons sa dérivée première.

$$
f(x) = \ln\left(2 e^{x} - 1\right)
$$

La dérivée de $$ f $$ est :

$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \ln\left(2 e^{x} - 1\right) = \frac{2 e^{x}}{2 e^{x} - 1}
$$

Analysons le signe de $$ f'(x) $$ sur l'intervalle $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$.

- Le numérateur $$ 2 e^{x} $$ est toujours positif car $$ e^{x} > 0 $$ pour tout $$ x $$.
- Le dénominateur $$ 2 e^{x} - 1 $$ est positif sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$ d'après la partie a).

Ainsi, $$ f'(x) > 0 $$ pour tout $$ x $$ appartenant à $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$.

Par conséquent, la fonction $$ f $$ est **croissante** sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$.

---

**c) Détermination de l'équation de la tangente $$ T $$ au point d'abscisse $$ 0 $$**

Pour trouver l'équation de la tangente $$ T $$ à la courbe de $$ f $$ en $$ x = 0 $$, nous avons besoin de :

1. Calculer $$ f(0) $$.
2. Calculer $$ f'(0) $$.

**1. Calcul de $$ f(0) $$ :**

$$
f(0) = \ln\left(2 e^{0} - 1\right) = \ln(2 \cdot 1 - 1) = \ln(1) = 0
$$

Ainsi, le point de tangence est $$ (0, 0) $$.

**2. Calcul de $$ f'(0) $$ :**

$$
f'(x) = \frac{2 e^{x}}{2 e^{x} - 1}
$$

Pour $$ x = 0 $$ :

$$
f'(0) = \frac{2 e^{0}}{2 e^{0} - 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{1} = 2
$$

**3. Équation de la tangente $$ T $$ :**

La tangente $$ T $$ a la forme :

$$
y = f'(0) (x - 0) + f(0) = 2x + 0 \Rightarrow y = 2x
$$

Donc, l'équation de la tangente $$ T $$ au point d'abscisse $$ 0 $$ est :

$$
y = 2x
$$
**a) Domaine de définition de $$ f $$** La fonction $$ f $$ est définie pour tout $$ x $$ tel que $$ 2 e^{x} - 1 > 0 $$. Cela signifie que $$ x > -\ln(2) $$. Donc, $$ f $$ est définie sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$. --- **b) Croissance de $$ f $$ sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$** La dérivée de $$ f $$ est $$ f'(x) = \frac{2 e^{x}}{2 e^{x} - 1} $$. Sur $$ ]-\ln(2), +\infty[ $$, le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc $$ f'(x) > 0 $$. Par conséquent, $$ f $$ est croissante sur cet intervalle. --- **c) Équation de la tangente $$ T $$ au point $$ x = 0 $$** - $$ f(0) = 0 $$ - $$ f'(0) = 2 $$ L'équation de la tangente $$ T $$ est $$ y = 2x $$.

est la fonction .
a) Justifier que est définie sur l’intervalle .
b) Justifier que est croissante sur l’intervalle
.
c) Déterminer une équation de la tangente à la
courbe représentative de la fonctioń au point d’abs-
cisse 0 , dans un repère orthonormé.

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est la fonction . a) Justifier que est définie sur l’intervalle . b) Justifier que est croissante sur l’intervalle . c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonctioń au point d’abs- cisse 0 , dans un repère orthonormé.