a) \( y=-2 x^{2}+x+3 \)

Claro, analicemos la función cuadrática dada: ### a) \( y = -2x^{2} + x + 3 \) #### 1. **Forma estándar:** La función está en la forma estándar de una cuadrática: \[ y = ax^{2} + bx + c \] Donde: - \( a = -2 \) - \( b = 1 \) - \( c = 3 \) #### 2. **Vértice:** El vértice de una parábola dada por \( y = ax^{2} + bx + c \) se encuentra en: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = f(x_v) \] Calculamos \( x_v \): \[ x_v = -\frac{1}{2(-2)} = \frac{1}{4} \] Ahora, sustituimos \( x_v \) en la función para hallar \( y_v \): \[ y_v = -2\left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} + 3 \] \[ y_v = -2\left(\frac{1}{16}\right) + \frac{1}{4} + 3 \] \[ y_v = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 3 \] \[ y_v = \frac{-1 + 2 + 24}{8} = \frac{25}{8} \] Por lo tanto, el vértice es \( \left(\frac{1}{4}, \frac{25}{8}\right) \). #### 3. **Dirección de la parábola:** Dado que \( a = -2 \) es negativo, la parábola abre hacia **abajo**. #### 4. **Intersección con el eje Y:** La intersección con el eje Y se encuentra evaluando \( x = 0 \): \[ y = -2(0)^{2} + 0 + 3 = 3 \] Entonces, la intersección con el eje Y es en el punto \( (0, 3) \). #### 5. **Intersecciones con el eje X (raíces):** Para encontrar las raíces, resolvemos \( y = 0 \): \[ -2x^{2} + x + 3 = 0 \] Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-2)(3)}}{2(-2)} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{-4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 5}{-4} \] Entonces, \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \] Las intersecciones con el eje X son en \( (-1, 0) \) y \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \). #### 6. **Resumen:** - **Vértice:** \( \left(\frac{1}{4}, \frac{25}{8}\right) \) - **Dirección:** Abre hacia abajo - **Intersección con el eje Y:** \( (0, 3) \) - **Intersecciones con el eje X:** \( (-1, 0) \) y \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \) Si necesitas un análisis adicional o tienes otra parte del problema, no dudes en indicarlo.