Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 5ae2a+1. Se si aumenta il primo di 3a+2e si diminuisce il secondo di a, qual è la differenza tra la seconda e la prima area?

Per calcolare la differenza tra la seconda e la prima area del triangolo rettangolo, iniziamo con le aree: 1. **Area originale**: L'area di un triangolo rettangolo si calcola con la formula: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \text{cateto1} \cdot \text{cateto2} \] Quindi, con i cateti \( 5a \) e \( 2a + 1 \), l'area originale è: \[ A_1 = \frac{1}{2} \cdot 5a \cdot (2a + 1) = \frac{5a(2a + 1)}{2} = \frac{10a^2 + 5a}{2} \] 2. **Aree dopo le modifiche**: Ora aumentiamo il primo cateto di \( 3a + 2 \) e riduciamo il secondo cateto di \( a \): Il primo cateto diventa: \[ 5a + (3a + 2) = 8a + 2 \] Il secondo cateto diventa: \[ (2a + 1) - a = a + 1 \] Pertanto, la nuova area è: \[ A_2 = \frac{1}{2} \cdot (8a + 2) \cdot (a + 1) = \frac{(8a + 2)(a + 1)}{2} = \frac{8a^2 + 8a + 2a + 2}{2} = \frac{8a^2 + 10a + 2}{2} \] 3. **Differenza tra le aree**: Ora calcoliamo la differenza tra \( A_2 \) e \( A_1 \): \[ \text{Differenza} = A_2 - A_1 = \frac{8a^2 + 10a + 2}{2} - \frac{10a^2 + 5a}{2} \] Semplificandolo otteniamo: \[ \text{Differenza} = \frac{(8a^2 + 10a + 2) - (10a^2 + 5a)}{2} = \frac{-2a^2 + 5a + 2}{2} \] La differenza tra la seconda e la prima area è quindi: \[ \frac{-2a^2 + 5a + 2}{2} \]