Dada la función \( g(x) = x^{1/3} - 4 \), comprueba que \( g^{-1}(x) \) produce el mismo valor que \( g(g^{-1}(x)) \).

Para verificar que \( g^{-1}(x) \) es la función inversa de \( g(x) = x^{1/3} - 4 \), debemos demostrar que \( g(g^{-1}(x)) = x \). A continuación, se detallan los pasos: ### 1. Encontrar la función inversa \( g^{-1}(x) \) Comenzamos con la función \( g(x) \): \[ y = g(x) = x^{1/3} - 4 \] Para encontrar \( g^{-1}(x) \), resolvemos esta ecuación para \( x \) en términos de \( y \): \[ y + 4 = x^{1/3} \] Elevamos ambos lados al cubo para despejar \( x \): \[ (y + 4)^3 = x \] Por lo tanto, la función inversa es: \[ g^{-1}(x) = (x + 4)^3 \] ### 2. Verificar que \( g(g^{-1}(x)) = x \) Ahora, sustituimos \( g^{-1}(x) \) en la función \( g \): \[ g(g^{-1}(x)) = g\big((x + 4)^3\big) = \left((x + 4)^3\right)^{1/3} - 4 \] Simplificamos la expresión: \[ \left((x + 4)^3\right)^{1/3} = x + 4 \] Entonces: \[ g(g^{-1}(x)) = (x + 4) - 4 = x \] ### **Conclusión** Hemos demostrado que \( g(g^{-1}(x)) = x \), lo que confirma que \( g^{-1}(x) \) es efectivamente la función inversa de \( g(x) \).