Soit \( a, b \) et \( c \in \mathbb{R}_{+}^{*} \). 1. Montrer que \( a+\frac{1}{a} \geqslant 2 \) 2. Déduire que : \[ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geqslant 9 \] 3. Montrer que : \( \frac{a^{2}}{a+b} \geqslant \frac{3 a-b}{4} \) 4. Déduire que : \[ \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a} \geqslant \frac{a+b+c}{2} \]

Commençons par cette inégalité simple mais puissante : pour tout réel positif \( a \), on a \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \). Cela découle de l'inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique ! Itérativement, moins de techniques avancées sont nécessaires puisque la méthode de complétion de carré montre que le minimum est atteint lorsque \( a = 1 \). Pour le second point, en utilisant l'inégalité que nous avons vue plus haut, nous pouvons établir que \( (a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \) ne peut pas être inférieur à \( 9 \). En effet, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, ceci peut être prouvé de manière élégante tout en rappelant que l'équilibre entre les termes donnera ce résultat dynamique et supérieur. Pour la troisième partie, l'inégalité \( \frac{a^{2}}{a+b} \geqslant \frac{3 a-b}{4} \) peut être démontrée en manipulant les équations et en utilisant la méthode de la substitution. Ce problème apparait souvent dans les examens de calcul où gardez à l'esprit que la rationalisation des rapports vous aide à atteindre les formes voulues. Enfin, pour la dernière déduction, nous pouvons rassembler des termes et utiliser la méthode d'addition et de comparaison pour montrer que l'expression combinée nous ramène à une forme où dire que la somme des fractions sera supérieure ou égale à la moitié de la somme des variables est non seulement vrai, mais aussi satisfaisant d'un point de vue calculatoire ! En intégrant chacun de ces résultats, nous pouvons apprécier leur interconnexion.