Exercice (2) : Soit l'intégrale double suivant \( I=\iint_{D} \quad d x d y \) où \( D=\left\{(x, y) \in R^{2} / x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 1, y \leq \sqrt{3} x\right\} \) 1. Représenter graphiquement le domaine \( D \). 2. Calculer l'intégrale \( I \) en utilisant les coordonnées polaires.

Pour représenter graphiquement le domaine \( D \), commençons par identifier les éléments clés. Le cercle donné par \( x^{2} + y^{2} \leq 4 \) représente un cercle de rayon 2 centré à l'origine. Les autres conditions \( y \geq 1 \) et \( y \leq \sqrt{3} x \) établissent des lignes. La ligne \( y = 1 \) est une ligne horizontale, tandis que \( y = \sqrt{3} x \) est une droite qui passe par l'origine, avec une pente de \(\sqrt{3}\). Le domaine \( D \) se trouve donc dans le premier quadrant, entre la ligne horizontale \( y=1 \) et la droite, tout en étant à l'intérieur du cercle. Pour le calcul de l'intégrale \( I \), passons aux coordonnées polaires où \( x = r \cos(\theta) \) et \( y = r \sin(\theta) \). Le cercle \( x^{2} + y^{2} = 4 \) devient \( r^2 \leq 4 \) donc \( r \leq 2 \). Les limites pour \( \theta \) viennent des intersections des lignes avec le cercle. La ligne \( y = 1 \) donne \( r \sin(\theta) = 1 \) ou \( r = \frac{1}{\sin(\theta)} \) et la ligne \( y = \sqrt{3} x \) transforme en \( \tan(\theta) = \sqrt{3} \) ou \( \theta = \frac{\pi}{3} \). Les angles vont de \( \theta = \frac{\pi}{6} \) (où la droite atteint \( y=1 \)) à \( \theta = \frac{\pi}{3} \). Ainsi, l'intégrale en coordonnées polaires s'écrit : \[ I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{1/\sin(\theta)}^{2} r \cdot r \, dr \, d\theta \] En calculant cette intégrale, nous obtenons le résultat final pour \( I \).