$$ f(x)=\frac{c 2 x^{x}}{x!} \quad x=0,1, \ldots $$ Find constant $$ C $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحساب الثابت $$ C $$ بحيث تكون الدالة $$ f(x) = \frac{C \cdot 2 \cdot x^{x}}{x!} $$ دالة توزيع احتمالي صحيحة، يجب أن يتحقق أن مجموع قيم $$ f(x) $$ لجميع $$ x = 0, 1, 2, \ldots $$ يساوي 1. أي:

$$
\sum_{x=0}^{\infty} f(x) = 1
$$

بالتعويض في المعادلة:

$$
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{C \cdot 2 \cdot x^{x}}{x!} = 1
$$

يمكننا فصل الثابت $$ C \cdot 2 $$ خارج المجاميع:

$$
C \cdot 2 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!} = 1
$$

لحساب $$ C $$، نقسم الطرفين على $$ 2 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!} $$:

$$
C = \frac{1}{2 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!}}
$$

بالتالي، الثابت $$ C $$ يُعطى بالعلاقة التالية:

$$
C = \frac{1}{2 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!}}
$$

**ملاحظة:** مجموع السلسلة $$ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!} $$ قد لا يكون له تعبير تحليلي بسيط، وقد يحتاج إلى حساب تقريبي باستخدام تقنيات التحليل العددي إذا كانت القيمة العددية مطلوبة.
للحساب الصحيح للثابت $$ C $$ في الدالة $$ f(x) = \frac{C \cdot 2 \cdot x^{x}}{x!} $$, يجب أن يكون مجموع قيم الدالة لجميع القيم الصحيحة لـ $$ x $$ يساوي 1. لذا، نحسب الثابت $$ C $$ كالتالي: $$ C = \frac{1}{2 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!}} $$ هذا يعني أن قيمة $$ C $$ تعتمد على مجموع السلسلة $$ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^{x}}{x!} $$.

Find constant

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions