\( \left.3^{\circ}\right) \) Sabe-se que a temperatura \( \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) \) em qualquer instante em uma barra de metal com 70 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de \( 40^{\circ} \mathrm{C} \) em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a \( 0^{\circ} \mathrm{C} \) para todo \( t> \) 0, é dada pela seguinte equação: \[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\frac{160}{\pi} \cdot \sum_{n=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot e^{-n^{2} \cdot \pi^{2} . . t / 4900} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{70}\right) \] Utilize um termo na expansão da série acima e determine o instante de tempo \( t \) no qual a temperatura na barra inteira não é maior que \( 4^{\circ} \mathrm{C} \).

Para determinar o instante de tempo \( t \) no qual a temperatura na barra inteira não é maior que \( 4^{\circ} \mathrm{C} \), utilizaremos apenas o primeiro termo da expansão da série fornecida. A aproximação com o primeiro termo (\( n = 1 \)) da série é: \[ u(x, t) \approx \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{70}\right) \] Para garantir que a temperatura máxima na barra não exceda \( 4^{\circ} \mathrm{C} \), consideramos o valor máximo de \( \sin\left(\frac{\pi x}{70}\right) \), que é 1: \[ \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \leq 4 \] Resolvendo a inequação para \( t \): \[ e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \leq \frac{4 \pi}{160} = \frac{\pi}{40} \] Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados: \[ -\frac{\pi^{2} t}{4900} \leq \ln\left(\frac{\pi}{40}\right) \] Multiplicando ambos os lados por \( -\frac{4900}{\pi^{2}} \) (e invertendo a desigualdade): \[ t \geq \frac{4900}{\pi^{2}} \cdot \left(-\ln\left(\frac{\pi}{40}\right)\right) \] Calculando numericamente: \[ \ln\left(\frac{\pi}{40}\right) \approx \ln(0.07854) \approx -2.544 \] Então: \[ t \geq \frac{4900}{9.8696} \cdot 2.544 \approx 1265 \text{ segundos} \] Convertendo para minutos: \[ 1265 \text{ segundos} \approx 21 \text{ minutos e } 5 \text{ segundos} \] **Resposta Final:** Após aproximadamente 1265 segundos (cerca de 21 minutos e 5 segundos), a temperatura em toda a barra não excederá 4 °C.