$$ =126 \begin{array}{l} ext { In un triangolo rettangolo la differenza o } \ ext { cateti misura } 14 \mathrm{~cm} ext { e uno di essi è } 5 / \ ext { dell'altro. Calcola l'area del cerchio a es } \ ext { circoscritto. }\end{array} $$

Question

$$ =126 \begin{array}{l}	ext { In un triangolo rettangolo la differenza o } \ 	ext { cateti misura } 14 \mathrm{~cm} 	ext { e uno di essi è } 5 / \ 	ext { dell'altro. Calcola l'area del cerchio a es } \ 	ext { circoscritto. }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere il problema, seguiamo questi passaggi:

1. **Identificazione delle variabili**:
   - Sia $$ a $$ il cateto maggiore e $$ b $$ il cateto minore.
   - Dalla descrizione, abbiamo due condizioni:
     - La differenza tra i cateti è $$ 14 $$ cm: $$ a - b = 14 $$.
     - Uno dei cateti è $$ \frac{5}{4} $$ dell'altro: $$ a = \frac{5}{4}b $$.

2. **Sostituzione delle variabili**:
   - Sostituiamo $$ a $$ nella prima equazione:
     $$
     \frac{5}{4}b - b = 14
     $$
   - Risolviamo l'equazione per $$ b $$.

3. **Risolviamo l'equazione**:
   - Riscriviamo l'equazione:
     $$
     \frac{5}{4}b - \frac{4}{4}b = 14
     $$
     $$
     \frac{1}{4}b = 14
     $$
   - Moltiplichiamo entrambi i lati per $$ 4 $$:
     $$
     b = 56
     $$

4. **Calcolo di $$ a $$**:
   - Ora calcoliamo $$ a $$:
     $$
     a = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \times 56 = 70
     $$

5. **Calcolo dell'area del triangolo**:
   - L'area $$ A $$ di un triangolo rettangolo è data dalla formula:
     $$
     A = \frac{1}{2} \times a \times b
     $$
   - Sostituiamo i valori di $$ a $$ e $$ b $$:
     $$
     A = \frac{1}{2} \times 70 \times 56
     $$

6. **Calcolo dell'area**:
   - Calcoliamo l'area:
     $$
     A = \frac{1}{2} \times 70 \times 56 = 1960 \text{ cm}^2
     $$

7. **Calcolo del raggio del cerchio circoscritto**:
   - Il raggio $$ R $$ del cerchio circoscritto in un triangolo rettangolo è dato dalla formula:
     $$
     R = \frac{c}{2}
     $$
   - Dove $$ c $$ è l'ipotenusa, che possiamo calcolare usando il teorema di Pitagora:
     $$
     c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{70^2 + 56^2}
     $$

8. **Calcolo dell'ipotenusa**:
   - Calcoliamo $$ c $$:
     $$
     c = \sqrt{4900 + 3136} = \sqrt{8036}
     $$

9. **Calcolo del raggio**:
   - Ora calcoliamo $$ R $$:
     $$
     R = \frac{\sqrt{8036}}{2}
     $$

Procediamo con i calcoli finali.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\sqrt{8036}}{2}$$
- step1: Simplify the root:
  $$\frac{14\sqrt{41}}{2}$$
- step2: Divide the terms:
  $$7\sqrt{41}$$
Calculate or simplify the expression $$ \sqrt(70^2 + 56^2) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{70^{2}+56^{2}}$$
- step1: Add the numbers:
  $$\sqrt{8036}$$
- step2: Write as a product:
  $$\sqrt{196\times 41}$$
- step3: Write in exponential form:
  $$\sqrt{14^{2}\times 41}$$
- step4: Use the properties of radicals:
  $$\sqrt{14^{2}}\times \sqrt{41}$$
- step5: Simplify the root:
  $$14\sqrt{41}$$
Dopo aver effettuato i calcoli, abbiamo i seguenti risultati:

1. **Calcolo dell'ipotenusa $$ c $$**:
   $$
   c = \sqrt{8036} \approx 89.64 \text{ cm}
   $$

2. **Calcolo del raggio $$ R $$ del cerchio circoscritto**:
   $$
   R = \frac{\sqrt{8036}}{2} \approx \frac{89.64}{2} \approx 44.82 \text{ cm}
   $$

Quindi, l'area del cerchio circoscritto è data dalla formula:
$$
A_{cerchio} = \pi R^2
$$

Calcoliamo ora l'area del cerchio circoscritto.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\pi \times 44.82187^{2}$$
- step1: Convert the expressions:
  $$\pi \left(\frac{4482187}{100000}\right)^{2}$$
- step2: Reorder the terms:
  $$\left(\frac{4482187}{100000}\right)^{2}\pi $$
- step3: Simplify:
  $$\frac{4482187^{2}}{100000^{2}}\times \pi $$
- step4: Multiply:
  $$\frac{4482187^{2}\pi }{100000^{2}}$$
L'area del cerchio circoscritto è calcolata come segue:

$$
A_{cerchio} = \pi R^2 \approx \pi \times (44.82)^2 \approx 6311.46 \text{ cm}^2
$$

### Risultato finale:
- L'area del cerchio circoscritto è approssimativamente $$ 6311.46 \text{ cm}^2 $$.
L'area del cerchio circoscritto è approssimativamente $$ 6311.46 \text{ cm}^2 $$.

\( =126 \begin{array}{l}\text { In un triangolo rettangolo la differenza o } \\ \text { cateti misura } 14 \mathrm{~cm} \text { e uno di essi è } 5 / \\ \text { dell'altro. Calcola l'area del cerchio a es } \\ \text { circoscritto. }\end{array} \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions