Question
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
### Задача 1. \( \sqrt{x+8} = x + 1 \)
**Решение:**
1. **Определение области определения:**
- \( x \geq -1 \)
2. **Возведение в квадрат:**
\[
x + 8 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
x^2 + x - 7 = 0
\]
3. **Корни уравнения:**
\[
x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx 2.19
\]
**Ответ:**
\[
x \approx 2.19
\]
---
### Задача 3. \( |\sin x| = \sin x \cos x \)
**Решение:**
1. **Случай 1: \(\sin x \geq 0\)**
- \( x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
2. **Случай 2: \(\sin x < 0\)**
- Нет решений.
**Ответ:**
\[
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Solution
### Задача 1. \( \sqrt{x+8} = x + 1 \)
**Решение:**
1. **Определение области определения:**
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\[
x + 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq -8
\]
- Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как левая часть (корень) неотрицательна:
\[
x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1
\]
- Таким образом, общая область определения: \( x \geq -1 \).
2. **Возведение обеих частей уравнения в квадрат:**
\[
(\sqrt{x + 8})^2 = (x + 1)^2 \Rightarrow x + 8 = x^2 + 2x + 1
\]
3. **Приведение к квадратному уравнению:**
\[
x^2 + 2x + 1 - x - 8 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 7 = 0
\]
4. **Решение квадратного уравнения:**
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}
\]
Таким образом, корни:
\[
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx 2.19, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \approx -3.19
\]
5. **Проверка корней на принадлежность области определения:**
- \( x_1 \approx 2.19 \geq -1 \) — допустимый корень.
- \( x_2 \approx -3.19 < -1 \) — отвергается.
**Ответ:**
\[
x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}
\]
---
### Задача 3. \( |\sin x| = \sin x \cos x \)
**Решение:**
Рассмотрим два случая в зависимости от знака \(\sin x\).
1. **Случай 1: \(\sin x \geq 0\)**
- Уравнение становится:
\[
\sin x = \sin x \cos x
\]
- Если \(\sin x = 0\), уравнение выполняется:
\[
\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Если \(\sin x \neq 0\), можно разделить обе части на \(\sin x\):
\[
1 = \cos x \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
2. **Случай 2: \(\sin x < 0\)**
- Уравнение становится:
\[
-\sin x = \sin x \cos x \Rightarrow -\sin x - \sin x \cos x = 0 \Rightarrow -\sin x (1 + \cos x) = 0
\]
- Возможные решения:
- \(\sin x = 0\): противоречит условию \(\sin x < 0\).
- \(1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = (2k + 1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
- Однако при \(x = (2k + 1)\pi\) \(\sin x = 0\), что опять противоречит условию.
**Таким образом, единственными решениями являются:**
\[
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
**Ответ:**
\[
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Extra Insights
Let’s dive into solving these equations! To start, for the first equation \( \sqrt{x+8}=x+1 \), you can square both sides to eliminate the square root, yielding \( x + 8 = (x + 1)^2 \). When you expand and simplify this, you'd end up with a quadratic equation, which can then be solved for \( x \). For the second equation \( |\sin x|=\sin x \cos x \), you analyze when the absolute value expression matches the right side. Notably, this implies two scenarios based on the properties of sine: either \( \sin x \geq 0 \) or \( \sin x < 0 \). Explore those two cases separately, and you’ll arrive at solutions for various intervals of \( x \). Happy solving!
