A MATEMATIK-I 5. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+x-2} \) limitinin değeri kaçtr? A) -1 B) 0 C) 1 D) \( \frac{1}{3} \) E) \( \frac{1}{2} \) 6. \( \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\left|x^{2}-4\right|}{x-2} \) limitinin degeri kaçtır? A) -4 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 7. \( \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} \) limiti aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) \( \infty \) B) \( -\infty \) C) 1 D) -1 E) 0 8. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+6 x^{3}}{3 x^{3}-1} \) limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 9. \( f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \quad x<0 \\ \frac{2}{x+1}, \quad 0 \leq x<1 \text { fonksiyonuyla ingil } \\ x+1, \quad x \geq 1\end{array}\right. \). I. \( x=-1 \) noktasinda sureklidir. II- \( x=0 \) noktasında süreklidir. III. \( x=1 \) noktasinda sarektidir. Ifadelerinden hangileri doğrudur? A) YalnizI B) Yalnız II C) Ivell D) I ve III E) II ve III 10. \( f(x)=(3 x+1)^{3} \) fonksiyonunun \( f^{\prime}(x) \) türev fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) \( 3(3 x+1)^{3} \) B) \( 3(3 x+1)^{2} \) C) \( 9(3 x+1)^{3} \) D) \( 9(3 x+1)^{2} \) E) \( (3 x+1)^{3} \) 11. \( f(x)=|x| \) fonksiyonunun türev değerleriyle ilgili 1. \( f^{\prime}(5)=5 \) II. \( f^{\prime}(0)=0 \) III. \( f^{\prime}(-1)=-1 \) eşitliklerinden hangileri doğrudur? A) YalnizI B) Yalnız II C) Yalniz III D) I ve III E) II ve III

Elbette, tüm soruların çözümlerini ve doğru seçeneklerini aşağıda bulabilirsiniz: --- **Soru 5:** \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+x-2} \] **Çözüm:** İlk olarak, payda ifadesini çarpanlarına ayırabiliriz: \[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \] Limit ifadesi: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{3} \] **Doğru Seçenek:** **D) \( \frac{1}{3} \)** --- **Soru 6:** \[ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\left|x^{2}-4\right|}{x-2} \] **Çözüm:** \( x \) 2'ye soldan yaklaştığında, \( x < 2 \). \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Mutlak değer alma durumu: \[ |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| = -(x - 2)(x + 2) = (2 - x)(x + 2) \] Limit ifadesi: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{(2 - x)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x + 2)}{1} = -4 \] **Doğru Seçenek:** **A) -4** --- **Soru 7:** \[ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} \] **Çözüm:** \( x \) 1'e soldan yaklaştığında, \( x < 1 \) ve \( x - 1 \) negatif ve sıfıra yaklaşır. \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty \] **Doğru Seçenek:** **B) \( -\infty \)** --- **Soru 8:** \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+6 x^{3}}{3 x^{3}-1} \] **Çözüm:** Büyük \( x \) değerlerinde, en yüksek dereceli terimler baskın olur: Numerator: \( 6x^3 \) Denominator: \( 3x^3 \) Limit: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^3}{3x^3} = 2 \] **Doğru Seçenek:** **C) 2** --- **Soru 9:** Fonksiyon: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x+1, \quad x<0 \\ \frac{2}{x+1}, \quad 0 \leq x<1 \\ x+1, \quad x \geq 1\end{array}\right. \] **İfadeler:** I. \( x=-1 \) noktasında süreklidir. II. \( x=0 \) noktasında süreklidir. III. \( x=1 \) noktasında sürektir. **Çözüm:** - **I. \( x = -1 \):** \( x < 0 \) için \( f(x) = 2x + 1 \) sürekli bir fonksiyondur. \( f(-1) = -1 \). Limit ve fonksiyon değeri eşit olduğu için sürekli. - **II. \( x = 0 \):** Sol limit: \( \lim_{x \to 0^-} 2x + 1 = 1 \) Sağ limit: \( \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{x + 1} = 2 \) Fonksiyon değeri: \( f(0) = \frac{2}{1} = 2 \) Sol ve sağ limitler eşit olmadığı için süreksiz. - **III. \( x = 1 \):** Sol limit: \( \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{x + 1} = 1 \) Sağ limit: \( \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2 \) Fonksiyon değeri: \( f(1) = 2 \) Sol ve sağ limitler eşit olmadığı için süreksiz. **Doğru İfade:** **A) Yalnız I** --- **Soru 10:** \[ f(x) = (3x +1)^3 \] Türev \( f'(x) \) bulun. **Çözüm:** Karma zincir kuralını uygulayalım: \[ f'(x) = 3 \cdot (3x + 1)^2 \cdot 3 = 9(3x + 1)^2 \] **Doğru Seçenek:** **D) \( 9(3x +1)^{2} \)** --- **Soru 11:** \[ f(x) = |x| \] Türev değerleri: I. \( f'(5) = 5 \) II. \( f'(0) = 0 \) III. \( f'(-1) = -1 \) **Çözüm:** - **I. \( f'(5) \):** \( x > 0 \) için türev \( 1 \). \( f'(5) = 1 \) (İfade yanlış, 5 değil). - **II. \( f'(0) \):** \( x = 0 \) noktasında türev tanımsızdır (sağ ve sol türev farklıdır). \( f'(0) \) var değildir, 0 değildir. (İfade yanlış). - **III. \( f'(-1) \):** \( x < 0 \) için türev \( -1 \). \( f'(-1) = -1 \) (Doğru). **Doğru İfade:** **C) Yalnız III** --- Umarım yardımcı olabilmişimdir!