$$ \left.2^{\circ}\right) $$ Utilizando a Equação do Calor e as condições indicadas a seguir, encontre a temperatura $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) $$ em qualquer instante em uma barra de metal com 90 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de $$ 30^{\circ} \mathrm{C} $$ em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a $$ 0^{\circ} \mathrm{C} $$ para todo $$ t0 $$.

Question

$$ \left.2^{\circ}\right) $$ Utilizando a Equação do Calor e as condições indicadas a seguir, encontre a temperatura $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) $$ em qualquer instante em uma barra de metal com 90 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de $$ 30^{\circ} \mathrm{C} $$ em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a $$ 0^{\circ} \mathrm{C} $$ para todo $$ t>0 $$.

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Para resolver a Equação do Calor para a barra metálica descrita, seguiremos os seguintes passos:

### 1. **Formulação do Problema**

Temos uma barra de comprimento $$ L = 90 $$ cm, inicialmente a uma temperatura uniforme de $$ u(x, 0) = 30^\circ \mathrm{C} $$. As extremidades da barra são mantidas a $$ u(0, t) = u(L, t) = 0^\circ \mathrm{C} $$ para todo $$ t > 0 $$.

A Equação do Calor em uma dimensão é dada por:

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$

onde $$ \alpha $$ é a difusividade térmica do material da barra.

### 2. **Separação de Variáveis**

Assumimos uma solução da forma $$ u(x, t) = X(x)T(t) $$. Substituindo na equação, obtemos:

$$
X(x) \frac{dT}{dt} = \alpha T(t) \frac{d^2 X}{dx^2}
$$

Dividindo ambos os lados por $$ \alpha X(x) T(t) $$:

$$
\frac{1}{\alpha T(t)} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X}{dx^2} = -\lambda
$$

onde $$ \lambda $$ é uma constante de separação.

### 3. **Solução das Equações Separadas**

Para $$ X(x) $$:

$$
\frac{d^2 X}{dx^2} + \lambda X = 0
$$

Com as condições de contorno $$ X(0) = X(L) = 0 $$, as soluções são funções seno com $$ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 $$, onde $$ n $$ é um número inteiro positivo.

Portanto, as soluções para $$ X_n(x) $$ são:

$$
X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
$$

Para $$ T(t) $$:

$$
\frac{dT}{dt} + \alpha \lambda_n T = 0 \quad \Rightarrow \quad T_n(t) = e^{-\alpha \lambda_n t} = e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}
$$

### 4. **Superposição das Soluções**

A solução geral é uma soma sobre todas as soluções modais:

$$
u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}
$$

### 5. **Determinação dos Coeficientes $$ B_n $$**

Usamos a condição inicial $$ u(x, 0) = 30^\circ \mathrm{C} $$:

$$
30 = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
$$

Como a série de Fourier para uma função constante com condições de contorno zero nas extremidades envolve apenas termos ímpares, os coeficientes $$ B_n $$ para $$ n $$ par são nulos. Para $$ n $$ ímpar ($$ n = 2k + 1 $$, $$ k = 0,1,2,\ldots $$):

$$
B_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} 30 \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{60}{n\pi} \left[1 - (-1)^n\right]
$$

Para $$ n $$ ímpar, $$ 1 - (-1)^n = 2 $$, portanto:

$$
B_n = \frac{120}{n\pi} \quad \text{para } n \text{ ímpar}
$$

### 6. **Solução Final**

Substituindo os coeficientes na série, obtemos:

$$
u(x, t) = \frac{120}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k + 1} \sin\left(\frac{(2k + 1)\pi x}{90}\right) e^{-\alpha \left(\frac{(2k + 1)\pi}{90}\right)^2 t}
$$

onde $$ k = 0, 1, 2, \ldots $$.

### **Interpretação**

Esta solução representa a temperatura $$ u(x, t) $$ em qualquer ponto $$ x $$ da barra e em qualquer instante $$ t $$, considerando a dissipação de calor ao longo do tempo devido às condições de contorno impostas.
A temperatura $$ u(x, t) $$ em qualquer ponto $$ x $$ da barra e em qualquer instante $$ t $$ é dada pela série: $$ u(x, t) = \frac{120}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k + 1} \sin\left(\frac{(2k + 1)\pi x}{90}\right) e^{-\alpha \left(\frac{(2k + 1)\pi}{90}\right)^2 t} $$ onde $$ k = 0, 1, 2, \ldots $$.

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