Descompón la siguiente expresión utilizando fracciones parciales: \( \frac{4x + 7}{(x+1)(x-2)} \)

Para descomponer la expresión \( \frac{4x + 7}{(x+1)(x-2)} \) en fracciones parciales, buscamos escribirla como: \[ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} \] Donde \( A \) y \( B \) son constantes que debemos determinar. Multiplicamos ambos lados por el denominador común \((x+1)(x-2)\): \[ 4x + 7 = A(x-2) + B(x+1) \] Ahora, expandimos la parte derecha: \[ 4x + 7 = Ax - 2A + Bx + B = (A+B)x + (B-2A) \] Igualamos los coeficientes de ambos lados: 1. Para los coeficientes de \( x \): \( A + B = 4 \) 2. Para los términos independientes: \( B - 2A = 7 \) Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones: De la primera ecuación, podemos despejar \( B \): \[ B = 4 - A \] Sustituimos en la segunda ecuación: \[ (4 - A) - 2A = 7 \] Simplificamos: \[ 4 - 3A = 7 \implies -3A = 7 - 4 \implies -3A = 3 \implies A = -1 \] Sustituyendo \( A \) en \( B = 4 - A \): \[ B = 4 - (-1) = 5 \] Por lo tanto, los valores son \( A = -1 \) y \( B = 5 \). Así, la descomposición en fracciones parciales es: \[ \frac{4x + 7}{(x+1)(x-2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{5}{x-2} \]