Sul diametro $$ A B $$ di una semicirconferenza, con- sidera un punto $$ P $$ e traccia per esso la retta perpendi- colare ad $$ A B $$, indicando con $$ Q $$ il suo punto d'interse- zione con la semicirconferenza. Considera poi un punto $$ C $$ sull'arco $$ \overline{A Q} $$ e indica con $$ D $$ il punto in cui la corda $$ B C $$ incontra il segmento $$ P Q $$. Dimostra che il quadrilatero $$ A P D C $$ è inscrivibile in una circonferenza. Qual è il cen- tro della circonferenza circoscritta?

Question

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Per dimostrare che il quadrilatero $$ A P D C $$ è inscrivibile in una circonferenza, dobbiamo dimostrare che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.

### Passo 1: Definizione dei punti e delle posizioni
- Sia $$ O $$ il centro della semicirconferenza.
- Sia $$ R $$ il raggio della semicirconferenza.
- I punti $$ A $$ e $$ B $$ sono agli estremi del diametro, quindi $$ O $$ è il punto medio di $$ A B $$.
- Il punto $$ P $$ è un punto qualsiasi sul diametro $$ A B $$.
- La retta perpendicolare a $$ A B $$ in $$ P $$ interseca la semicirconferenza nel punto $$ Q $$.
- Il punto $$ C $$ è un punto sull'arco $$ \overline{A Q} $$.
- La corda $$ B C $$ interseca il segmento $$ P Q $$ nel punto $$ D $$.

### Passo 2: Analisi degli angoli
Dobbiamo dimostrare che gli angoli $$ \angle APD $$ e $$ \angle ACD $$ sono supplementari, e che gli angoli $$ \angle PDC $$ e $$ \angle AQC $$ sono anch'essi supplementari.

1. **Angolo $$ \angle AQC $$**:
   - Poiché $$ Q $$ è un punto sulla semicirconferenza, l'angolo $$ \angle AQC $$ è un angolo inscritto che sottende l'arco $$ \overline{AC} $$.

2. **Angolo $$ \angle PDC $$**:
   - Il punto $$ D $$ si trova sulla corda $$ BC $$ e sul segmento $$ PQ $$. Quindi, l'angolo $$ \angle PDC $$ è un angolo che sottende lo stesso arco $$ \overline{AC} $$.

Poiché gli angoli $$ \angle AQC $$ e $$ \angle PDC $$ sottendono lo stesso arco $$ \overline{AC} $$, abbiamo:
$$
\angle AQC = \angle PDC
$$

3. **Angolo $$ \angle APD $$**:
   - L'angolo $$ \angle APD $$ è un angolo esterno al triangolo $$ APQ $$ e può essere espresso come la somma degli angoli interni $$ \angle AQP $$ e $$ \angle APQ $$.

4. **Angolo $$ \angle ACD $$**:
   - L'angolo $$ \angle ACD $$ è un angolo inscritto che sottende l'arco $$ \overline{AD} $$.

### Passo 3: Supplementarietà degli angoli
Ora, poiché $$ \angle AQC + \angle PDC = 180^\circ $$ e $$ \angle APD + \angle ACD = 180^\circ $$, possiamo concludere che gli angoli opposti del quadrilatero $$ A P D C $$ sono supplementari.

### Passo 4: Centro della circonferenza circoscritta
Il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero $$ A P D C $$ è il punto medio del segmento $$ AC $$ e il punto medio del segmento $$ PD $$. Questo punto è equidistante dai vertici del quadrilatero, il che conferma che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

### Conclusione
Abbiamo dimostrato che il quadrilatero $$ A P D C $$ è inscrivibile in una circonferenza, e il centro della circonferenza circoscritta è il punto medio del segmento $$ AC $$ e del segmento $$ PD $$.
Il quadrilatero $$ A P D C $$ è inscrivibile in una circonferenza, e il suo centro è il punto medio del segmento $$ AC $$ e del segmento $$ PD $$.

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