24. Demostrar las siguientes identidades: a) \( \sec y=\frac{\operatorname{ctg} y+\tan y}{\csc y} \) b) \( \operatorname{ctg} x-\tan x=\frac{2 \cos ^{2} x-1}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x} \) c) \( 3 \operatorname{sen}^{2} x-9 \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{ctg} x+7 \cos ^{2} x-4 \cos x=(4 \cos x-1)(\cos x-3) \) d) \( \sqrt{\frac{1-\cos \beta}{1+\cos \beta}}+\sqrt{\frac{1+\cos \beta}{1-\cos \beta}}=2 \csc \beta \) e) \( 2\left(\operatorname{sen}^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\operatorname{sen}^{4} x+\cos ^{4} x\right)+1=0 \) f) \( \frac{2-\csc ^{2} x}{\tan x-1}-\csc ^{2} x+1=\operatorname{ctg} x \)

Vamos a demostrar la identidad: \[ \sec y = \frac{\cot y + \tan y}{\csc y} \] **Paso 1: Expresar todas las funciones en términos de seno y coseno** Recordemos las definiciones básicas de las funciones trigonométricas involucradas: \[ \begin{align*} \sec y &= \frac{1}{\cos y} \\ \csc y &= \frac{1}{\sin y} \\ \tan y &= \frac{\sin y}{\cos y} \\ \cot y &= \frac{\cos y}{\sin y} \end{align*} \] **Paso 2: Sustituir \(\cot y\) y \(\tan y\) en la expresión dada** \[ \frac{\cot y + \tan y}{\csc y} = \frac{\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\sin y}{\cos y}}{\frac{1}{\sin y}} \] **Paso 3: Simplificar el numerador** \[ \frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\cos^2 y + \sin^2 y}{\sin y \cos y} \] Sabemos que \(\cos^2 y + \sin^2 y = 1\), por lo tanto: \[ \frac{\cos^2 y + \sin^2 y}{\sin y \cos y} = \frac{1}{\sin y \cos y} \] **Paso 4: Dividir por \(\csc y\)** \[ \frac{\frac{1}{\sin y \cos y}}{\frac{1}{\sin y}} = \frac{1}{\sin y \cos y} \times \sin y = \frac{1}{\cos y} = \sec y \] **Conclusión:** Hemos demostrado que: \[ \sec y = \frac{\cot y + \tan y}{\csc y} \]