24. Demostrar las siguientes identidades: a) $$ \sec y=\frac{\operatorname{ctg} y+ an y}{\csc y} $$ b) $$ \operatorname{ctg} x- an x=\frac{2 \cos ^{2} x-1}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x} $$ c) $$ 3 \operatorname{sen}^{2} x-9 \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{ctg} x+7 \cos ^{2} x-4 \cos x=(4 \cos x-1)(\cos x-3) $$ d) $$ \sqrt{\frac{1-\cos \beta}{1+\cos \beta}}+\sqrt{\frac{1+\cos \beta}{1-\cos \beta}}=2 \csc \beta $$ e) $$ 2\left(\operatorname{sen}^{6} x+\cos ^{6} x ight)-3\left(\operatorname{sen}^{4} x+\cos ^{4} x ight)+1=0 $$ f) $$ \frac{2-\csc ^{2} x}{ an x-1}-\csc ^{2} x+1=\operatorname{ctg} x $$

Question

24. Demostrar las siguientes identidades: a) $$ \sec y=\frac{\operatorname{ctg} y+	an y}{\csc y} $$ b) $$ \operatorname{ctg} x-	an x=\frac{2 \cos ^{2} x-1}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x} $$ c) $$ 3 \operatorname{sen}^{2} x-9 \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{ctg} x+7 \cos ^{2} x-4 \cos x=(4 \cos x-1)(\cos x-3) $$ d) $$ \sqrt{\frac{1-\cos \beta}{1+\cos \beta}}+\sqrt{\frac{1+\cos \beta}{1-\cos \beta}}=2 \csc \beta $$ e) $$ 2\left(\operatorname{sen}^{6} x+\cos ^{6} xight)-3\left(\operatorname{sen}^{4} x+\cos ^{4} xight)+1=0 $$ f) $$ \frac{2-\csc ^{2} x}{	an x-1}-\csc ^{2} x+1=\operatorname{ctg} x $$

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Vamos a demostrar la identidad:

$$ \sec y = \frac{\cot y + \tan y}{\csc y} $$

**Paso 1: Expresar todas las funciones en términos de seno y coseno**

Recordemos las definiciones básicas de las funciones trigonométricas involucradas:

$$
\begin{align*}
\sec y &= \frac{1}{\cos y} \
\csc y &= \frac{1}{\sin y} \
\tan y &= \frac{\sin y}{\cos y} \
\cot y &= \frac{\cos y}{\sin y}
\end{align*}
$$

**Paso 2: Sustituir $$\cot y$$ y $$\tan y$$ en la expresión dada**

$$
\frac{\cot y + \tan y}{\csc y} = \frac{\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\sin y}{\cos y}}{\frac{1}{\sin y}}
$$

**Paso 3: Simplificar el numerador**

$$
\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\cos^2 y + \sin^2 y}{\sin y \cos y}
$$

Sabemos que $$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$$, por lo tanto:

$$
\frac{\cos^2 y + \sin^2 y}{\sin y \cos y} = \frac{1}{\sin y \cos y}
$$

**Paso 4: Dividir por $$\csc y$$**

$$
\frac{\frac{1}{\sin y \cos y}}{\frac{1}{\sin y}} = \frac{1}{\sin y \cos y} \times \sin y = \frac{1}{\cos y} = \sec y
$$

**Conclusión:**

Hemos demostrado que:

$$
\sec y = \frac{\cot y + \tan y}{\csc y}
$$
$$ \sec y = \frac{\cot y + \tan y}{\csc y} $$

Demostrar las siguientes identidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

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