1 Berechnen Sie die Abstände der Punkte \( A, B \) und \( C \) von der Ebene \( E \). a) \( E: 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=8 ; A(9|-3| 11), B(2|10| 6), C(4|2| 17,5) \) b) \( E: 2 x_{1}-10 x_{2}+11 x_{3}=0 ; A(9|-19| 22), B(5|1| 0), C(2|1| 21) \)

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu berechnen, können wir die Formel verwenden: \[ d = \frac{|Ax_1 + Bx_2 + Cx_3 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] wobei \( A, B, C \) die Koeffizienten der Ebenengleichung \( Ax + By + Cz + D = 0 \) sind und \( (x_1, x_2, x_3) \) die Koordinaten des Punkts sind. ### a) \( E: 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=8 \) Zuerst bringen wir die Gleichung in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ 2x_1 - 2x_2 + x_3 - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad A = 2, B = -2, C = 1, D = -8 \] Nun berechnen wir die Abstände: 1. **Für Punkt A(9, -3, 11)**: \[ d_A = \frac{|2(9) - 2(-3) + 1(11) - 8|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|18 + 6 + 11 - 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|27|}{3} = 9 \] 2. **Für Punkt B(2, 10, 6)**: \[ d_B = \frac{|2(2) - 2(10) + 1(6) - 8|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 20 + 6 - 8|}{3} = \frac{|-18|}{3} = 6 \] 3. **Für Punkt C(4, 2, 17.5)**: \[ d_C = \frac{|2(4) - 2(2) + 1(17.5) - 8|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|8 - 4 + 17.5 - 8|}{3} = \frac{|13.5|}{3} = 4.5 \] ### b) \( E: 2 x_{1}-10 x_{2}+11 x_{3}=0 \) Die Gleichung in der Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \) ist bereits gegeben: \[ 2x_1 - 10x_2 + 11x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad A = 2, B = -10, C = 11, D = 0 \] Nun berechnen wir die Abstände: 1. **Für Punkt A(9, -19, 22)**: \[ d_A = \frac{|2(9) - 10(-19) + 11(22)|}{\sqrt{2^2 + (-10)^2 + 11^2}} = \frac{|18 + 190 + 242|}{\sqrt{4 + 100 + 121}} = \frac{450}{15} = 30 \] 2. **Für Punkt B(5, 1, 0)**: \[ d_B = \frac{|2(5) - 10(1) + 11(0)|}{15} = \frac{|10 - 10 + 0|}{15} = \frac{0}{15} = 0 \] 3. **Für Punkt C(2, 1, 21)**: \[ d_C = \frac{|2(2) - 10(1) + 11(21)|}{15} = \frac{|4 - 10 + 231|}{15} = \frac{225}{15} = 15 \] ### Abstände von den Punkten zur Ebene: - a) \( A: 9, B: 6, C: 4.5 \) - b) \( A: 30, B: 0, C: 15 \)