2. Drei Kapitalien von Fr. 4000 .-, Fr. 5500 .- und Frr. 8500 .- ergeben einen Jahreszins von zusammen Fr. 740 .- Der Zinssatz für das 2. Kapial ist ein halbes Prozent höher als derjenige für das 1 . Kapital, und der Zinssatz für das 3. Kapital ist um ein ganzes Prozent höher als für das 2 . Kapital. Welches sind die drei Zinssätze? .

Question

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Um die Zinssätze für die drei Kapitalien zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

### Gegebene Informationen:
- Kapital 1 (K1): Fr. 4000
- Kapital 2 (K2): Fr. 5500
- Kapital 3 (K3): Fr. 8500
- Gesamter Jahreszins: Fr. 740
- Zinssatz für Kapital 2 (r2) ist 0,5% höher als für Kapital 1 (r1).
- Zinssatz für Kapital 3 (r3) ist 1% höher als für Kapital 2 (r2).

### Schritt 1: Zinssätze definieren
Lass uns die Zinssätze wie folgt definieren:
- Zinssatz für Kapital 1: $$ r_1 $$
- Zinssatz für Kapital 2: $$ r_2 = r_1 + 0.005 $$ (0,5% höher)
- Zinssatz für Kapital 3: $$ r_3 = r_2 + 0.01 = r_1 + 0.005 + 0.01 = r_1 + 0.015 $$ (1% höher)

### Schritt 2: Zinsformeln aufstellen
Der Zins für jedes Kapital kann mit der Formel $$ Z = K \cdot r $$ berechnet werden. Daher haben wir:

- Zins für Kapital 1: $$ Z_1 = 4000 \cdot r_1 $$
- Zins für Kapital 2: $$ Z_2 = 5500 \cdot (r_1 + 0.005) $$
- Zins für Kapital 3: $$ Z_3 = 8500 \cdot (r_1 + 0.015) $$

### Schritt 3: Gesamter Zins
Die Summe der Zinsen ergibt den gesamten Jahreszins:
$$
Z_1 + Z_2 + Z_3 = 740
$$
Setzen wir die Zinsformeln ein:
$$
4000 \cdot r_1 + 5500 \cdot (r_1 + 0.005) + 8500 \cdot (r_1 + 0.015) = 740
$$

### Schritt 4: Gleichung aufstellen und vereinfachen
Nun vereinfachen wir die Gleichung:
$$
4000r_1 + 5500r_1 + 27.5 + 8500r_1 + 127.5 = 740
$$
$$
(4000 + 5500 + 8500)r_1 + 155 = 740
$$
$$
18000r_1 + 155 = 740
$$
$$
18000r_1 = 740 - 155
$$
$$
18000r_1 = 585
$$
$$
r_1 = \frac{585}{18000}
$$

### Schritt 5: Zinssatz berechnen
Berechnen wir $$ r_1 $$:
$$
r_1 = 0.0325 \quad \text{(3.25\%)}
$$

### Schritt 6: Zinssätze für die anderen Kapitalien
Jetzt berechnen wir die Zinssätze für die anderen Kapitalien:
$$
r_2 = r_1 + 0.005 = 0.0325 + 0.005 = 0.0375 \quad \text{(3.75\%)}
$$
$$
r_3 = r_2 + 0.01 = 0.0375 + 0.01 = 0.0475 \quad \text{(4.75\%)}
$$

### Ergebnis
Die Zinssätze sind:
- Zinssatz für Kapital 1: 3.25%
- Zinssatz für Kapital 2: 3.75%
- Zinssatz für Kapital 3: 4.75%
Die Zinssätze sind: - Kapital 1: 3.25% - Kapital 2: 3.75% - Kapital 3: 4.75%

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Gegebene Informationen:

Schritt 1: Zinssätze definieren

Schritt 2: Zinsformeln aufstellen

Schritt 3: Gesamter Zins

Schritt 4: Gleichung aufstellen und vereinfachen

Schritt 5: Zinssatz berechnen

Schritt 6: Zinssätze für die anderen Kapitalien

Ergebnis

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