Un quadrato e un esagono regolare sono inscritti nella stessa circonferenza. Determina il perimetro dell'esagono, sapendo che il perimetro del quadrato è 40 cm .

Per risolvere il problema, seguiamo questi passaggi: 1. **Condizioni note**: - Il perimetro del quadrato è 40 cm. - Un quadrato e un esagono regolare sono inscritti nella stessa circonferenza. 2. **Calcolo del lato del quadrato**: Il perimetro \( P \) di un quadrato è dato dalla formula: \[ P = 4l \] dove \( l \) è la lunghezza del lato del quadrato. Possiamo calcolare \( l \) come segue: \[ l = \frac{P}{4} = \frac{40}{4} = 10 \text{ cm} \] 3. **Calcolo della diagonale del quadrato**: La diagonale \( d \) di un quadrato può essere calcolata usando il teorema di Pitagora: \[ d = l\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ cm} \] 4. **Calcolo del raggio della circonferenza**: Poiché il quadrato è inscritto nella circonferenza, la diagonale del quadrato è uguale al diametro della circonferenza. Pertanto, il raggio \( r \) della circonferenza è: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ cm} \] 5. **Calcolo del perimetro dell'esagono**: Un esagono regolare inscritto in una circonferenza ha il lato \( a \) uguale al raggio della circonferenza. Quindi: \[ a = r = 5\sqrt{2} \text{ cm} \] Il perimetro \( P_e \) dell'esagono è dato da: \[ P_e = 6a = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \text{ cm} \] 6. **Risultato finale**: Il perimetro dell'esagono regolare è \( 30\sqrt{2} \) cm.