3. Aplica la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación diferencial \( y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-6 y=3 e^{2 t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1 \)

Para resolver la ecuación diferencial dada utilizando la transformada de Laplace, primero necesitamos aplicar la transformada de Laplace a ambas partes de la ecuación. La transformada de Laplace de una función \( f(t) \) se denota como \( \mathcal{L}\{f(t)\} \) y se define como: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \] Dada la ecuación diferencial: \[ y''' + 2y'' - 5y' - 6y = 3e^{2t} \] Y las condiciones iniciales: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 0, \quad y''(0) = 1 \] Aplicamos la transformada de Laplace a ambas partes de la ecuación diferencial. Recordemos que la transformada de Laplace de una derivada de orden \( n \) de una función \( y(t) \) es: \[ \mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\} = s^n \mathcal{L}\{y(t)\} - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} y'(0) - \ldots - s y^{(n-2)}(0) - y^{(n-1)}(0) \] Por lo tanto, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es: \[ \mathcal{L}\{y''' + 2y'' - 5y' - 6y\} = \mathcal{L}\{3e^{2t}\} \] Aplicando la transformada de Laplace a cada término, obtenemos: \[ s^3 \mathcal{L}\{y\} - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0) + 2s^2 \mathcal{L}\{y\} - 2s y(0) - 2 y'(0) - 5s \mathcal{L}\{y\} - 5 y(0) - 6 \mathcal{L}\{y\} = \frac{3}{s-2} \] Sustituyendo las condiciones iniciales \( y(0) = 0 \), \( y'(0) = 0 \), \( y''(0) = 1 \) en la ecuación anterior, obtenemos: \[ s^3 \mathcal{L}\{y\} - s^2 \cdot 0 - s \cdot 0 - 1 + 2s^2 \mathcal{L}\{y\} - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 5s \mathcal{L}\{y\} - 5 \cdot 0 - 6 \mathcal{L}\{y\} = \frac{3}{s-2} \] Simplificando la ecuación, obtenemos: \[ (s^3 + 2s^2 - 5s - 6) \mathcal{L}\{y\} = \frac{3}{s-2} + 1 \] Finalmente, resolvemos la ecuación para encontrar la transformada de Laplace de \( y(t) \) y luego deshacemos la transformada de Laplace para obtener la solución de la ecuación diferencial.