Déterminer le graphe ainsi que l'image (a) \( x \mapsto 2-\sqrt{-x^{2}-6 x-5} \)

Pour déterminer le graphe de la fonction \( f(x) = 2 - \sqrt{ -x^{2} - 6x - 5 } \) ainsi que son image, procédons étape par étape. ## 1. Domaine de Définition L'expression sous la racine carrée doit être non négative pour que la fonction soit définie : \[ - x^{2} - 6x - 5 \geq 0 \] Multipliant par \(-1\) (en inversant le sens de l'inégalité) : \[ x^{2} + 6x + 5 \leq 0 \] Factorisons le trinôme : \[ x^{2} + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5) \] L'inégalité \((x + 1)(x + 5) \leq 0\) est satisfaite pour \( x \) dans l'intervalle fermé \([-5, -1]\). **Domaine de définition** : \( x \in [-5, -1] \) ## 2. Simplification de l'Expression Réécrivons l'expression sous la racine en complétant le carré : \[ x^{2} + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4 \] Ainsi, \[ - x^{2} - 6x - 5 = -\left( (x + 3)^2 - 4 \right) = - (x + 3)^2 + 4 \] La fonction devient alors : \[ f(x) = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2} \] ## 3. Interprétation Géométrique L'équation peut être mise sous la forme d'un cercle : \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \] Ceci représente un cercle de **centre** \((-3, 2)\) et de **rayon** \(2\). Cependant, la fonction \( f(x) = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2} \) correspond uniquement à la **moitié inférieure** de ce cercle, car elle soustrait la racine carrée de \(2\). ## 4. Graphe de la Fonction Le graphe de \( f(x) \) est donc le **demi-cercle inférieur** centré en \((-3, 2)\) avec un rayon de \(2\), restreint au domaine \( x \in [-5, -1] \).  *(Remplacer par une image appropriée si nécessaire)* ## 5. Image de la Fonction Analysons les valeurs de \( y \) : \[ y = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2} \] La racine carrée \(\sqrt{4 - (x + 3)^2}\) varie entre \(0\) et \(2\) (car \((x + 3)^2 \leq 4\)). Donc : \[ 2 - 2 \leq y \leq 2 - 0 \implies 0 \leq y \leq 2 \] **Image** : \( y \in [0, 2] \) ## Conclusion - **Graphe** : Demi-cercle inférieur du cercle de centre \((-3, 2)\) et de rayon \(2\), défini pour \( x \in [-5, -1] \). - **Image** : Ensemble des valeurs \( y \) comprises entre \(0\) et \(2\), c’est-à-dire \( y \in [0, 2] \).