12 Sia \( A B C D \) un rettangolo. Siano \( H \) e \( K \), rispettivamente, le proiezioni di \( B \) e \( D \) sulla diagonale \( A C \) del rettangolo. Sapendo che \( \overline{H K}=3 a \) e che \( \overline{A K}=\overline{C H}=a \), determina il perimetro e l'area del rettangolo. Perimetro \( =6 a, 5 \) Ares

Per risolvere il problema, iniziamo a definire le coordinate dei punti del rettangolo \( ABCD \): - \( A(0, 0) \) - \( B(a, 0) \) - \( C(a, b) \) - \( D(0, b) \) Dove \( a \) è la lunghezza della base e \( b \) è l'altezza del rettangolo. ### Passo 1: Trovare l'equazione della diagonale \( AC \) La diagonale \( AC \) può essere descritta dall'equazione della retta che passa per i punti \( A \) e \( C \). La pendenza \( m \) della retta è data da: \[ m = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a} \] L'equazione della retta in forma punto-pendenza è: \[ y = mx = \frac{b}{a}x \] ### Passo 2: Trovare le proiezioni \( H \) e \( K \) #### Proiezione di \( B \) su \( AC \) (punto \( H \)) La proiezione di un punto su una retta può essere trovata usando la formula della proiezione. La distanza verticale da \( B \) alla retta \( AC \) è: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Dove \( A = -\frac{b}{a} \), \( B = 1 \), e \( C = 0 \) per la retta \( y = \frac{b}{a}x \). Per il punto \( B(a, 0) \): \[ d_H = \frac{\left| -\frac{b}{a}a + 1 \cdot 0 + 0 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 + 1^2}} = \frac{| -b |}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}} = \frac{b}{\sqrt{\frac{b^2 + a^2}{a^2}}} = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} \] #### Proiezione di \( D \) su \( AC \) (punto \( K \)) Allo stesso modo, per il punto \( D(0, b) \): \[ d_K = \frac{\left| -\frac{b}{a} \cdot 0 + 1 \cdot b + 0 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 + 1^2}} = \frac{b}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}} = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} \] ### Passo 3: Calcolare la distanza \( \overline{HK} \) La distanza \( \overline{HK} \) è data da: \[ \overline{HK} = d_H + d_K = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} + \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} \] ### Passo 4: Utilizzare le informazioni fornite Sappiamo che \( \overline{HK} = 3a \): \[ \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} = 3a \] Dividendo entrambi i lati per \( a \) (assumendo \( a \neq 0 \)): \[ \frac{2b}{\sqrt{b^2 + a^2}} = 3 \] Elevando al quadrato entrambi i lati: \[ \frac{4b^2}{b^2 + a^2} = 9 \] Moltiplicando per \( b^2 + a^2 \): \[ 4b^2 = 9(b^2 + a^2) \] Semplificando: \[ 4b^2 = 9b^2 + 9a^2 \implies 5b^2 + 9a^2 = 0 \] ### Passo 5: Risolvere per \( a \) e \( b \) Da \( \overline{AK} = a \) e \( \overline{CH} = a \), sappiamo che: \[ b = 3a \] ### Passo 6: Calcolare perimetro e area Il perimetro \( P \) del rettangolo è dato da: \[ P = 2(a + b) = 2(a + 3a) = 8a \] L'area \( A \) del rettangolo è: \[ A = a \cdot b = a \cdot 3a = 3a^2 \] ### Risultato finale Il perimetro del rettangolo è \( 8a \) e l'area è \( 3a^2 \).