Esercizio 13.14 Trovare un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}_{\kappa 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ tale che $$ F(x-1)=(1,2,0) \quad F\left(x^{2}+1\right)=(1,2,0) $$ Studiare poi la suriettività e l'iniettività di $$ F $$.

Question

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Una possibile applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \to \mathbb{R}^3 $$ che soddisfa le condizioni $$ F(x - 1) = (1, 2, 0) $$ e $$ F(x^2 + 1) = (1, 2, 0) $$ è: $$ F(a + bx + cx^2) = (b + c, 2(b + c), 0) $$ **Analisi:** - **Iniettività:** $$ F $$ non è iniettiva perché esistono polinomi diversi che mappano a vettori nello stesso immagine. - **Suriettività:** $$ F $$ non è suriettiva perché non può coprire tutto $$\mathbb{R}^3$$ poiché il terzo componente degli immagini è sempre $$0$$. Quindi, l'applicazione $$ F $$ non è né iniettiva né suriettiva.

Esercizio 13.14 Trovare un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}_{\kappa 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che \[ F(x-1)=(1,2,0) \quad F\left(x^{2}+1\right)=(1,2,0) \] Studiare poi la suriettività e l'iniettività di \( F \).

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Esercizio 13.14 Trovare un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}_{\kappa 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che \[ F(x-1)=(1,2,0) \quad F\left(x^{2}+1\right)=(1,2,0) \] Studiare poi la suriettività e l'iniettività di \( F \).

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