Dans le plan (P), on considère un triangle ABC isocèle en A , de hauteur $$ [\mathrm{AH}] $$, telle que $$ \mathrm{AH}=\mathrm{BC}=4 $$, l'unité choisie étan e centimètre. 1) Construire, en justifiant, le point G barycentre du système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, 1) ;(C, 1)\} $$ 2) M est un point quelconque de ( P$$ ) $$. Montrer que le vecteur $$ \vec{V}=2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C} $$ est un vecteur de norme 8 3) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}\|=\|\vec{V}\| $$ 4) On considère le système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, n) ;(C, n)\} $$ où $$ n $$ est un entier naturel fixé. a) Montrer que le barycentre $$ G_{n} $$ de ce système, existe quelle que soit la valeur de $$ n $$ p) Montrer que pour tout entier naturel $$ n $$, $$ G_{n} $$ appartient à $$ [\mathrm{AH}] $$ s) Soit $$ \Gamma_{n} $$ l'ensemble des points M du plan tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A}+n \overrightarrow{M B}+n \overrightarrow{M C}\|=n\|\vec{V}\| $$. Montrer que $$ \Gamma_{n} $$ est un cercle contenant le point A , dont on préciserale centre et le rayon d) Déterminer la distance $$ A G_{n} $$ en fonction de $$ n $$ 5) Quel est le comportement de $$ G_{n} $$ lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$ ?

Question

O'Quinn Spencer · Accepted Answer

1) Le point G, barycentre du système $$ \{(A, 2) ;(B, 1) ;(C, 1)\} $$, est construit en calculant $$ \vec{G} = \frac{1}{4} (2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) $$. 2) Le vecteur $$ \vec{V} = 2\overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} - \overrightarrow{M C} $$ a une norme de 8. 3) L'ensemble des points M tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B} + \overrightarrow{M C}\| = 8 $$ forme un cercle. 4) a) Le barycentre $$ G_n $$ existe pour tout entier naturel $$ n $$. b) $$ G_n $$ se trouve sur la hauteur $$ [\mathrm{AH}] $$. c) $$ \Gamma_{n} $$ est un cercle centré en A avec un rayon de $$ n 	imes 8 $$. d) La distance $$ A G_{n} $$ est $$ \frac{2n + 1}{n + 2} $$ centimètres. 5) Lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$, $$ G_{n} $$ se rapproche de la base du triangle.

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