Ex2 \( A B C \) est un triangle. On connaít \( A B=2 ; A C=2 \sqrt{3} \) et \( B C=4 \) 1) montrer que \( A B C \) un triangle rectangle 2) calculer la ligne trigonométrique de \( A \hat{B C} \) el \( A C B \) Exa \( A B C \) est un triangle. On a \( A B=2, A C=4 \) et \( B C=2 \sqrt{5} \) ) calculer la ligne trigonométrique de \( A \hat{B C} \) 2) soit \( H \) le projete orthogonal de \( A \) sur \( (B C) \) calculer \( B H, A H \)

### 1) إثبات أن مثلث \( ABC \) مثلث قائم الزاوية لدينا أطوال الأضلاع: - \( AB = 2 \) - \( AC = 2\sqrt{3} \) - \( BC = 4 \) نحسب مربعات الأطوال: - \( AB^2 = 4 \) - \( AC^2 = 12 \) - \( BC^2 = 16 \) نتحقق مما إذا كانت المعادلة التالية صحيحة: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ 4 + 12 = 16 \] \[ 16 = 16 \] لذا، مثلث \( ABC \) هو مثلث قائم الزاوية عند النقطة \( A \). ### 2) حساب الزوايا \( \angle ABC \) و \( \angle ACB \) #### حساب الزاوية \( \angle ABC \): \[ \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \angle ABC = 60^\circ \] #### حساب الزاوية \( \angle ACB \): \[ \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ \angle ACB = 30^\circ \] ### المسألة الثانية لدينا مثلث \( ABC \) حيث: - \( AB = 2 \) - \( AC = 4 \) - \( BC = 2\sqrt{5} \) #### 1) حساب الزاوية \( \angle ABC \): \[ \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] \[ \angle ABC = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \] #### 2) حساب \( BH \) و \( AH \): \[ AH = AC \cdot \sin(\angle ACB) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \] \[ BH = AB \cdot \sin(\angle ACB) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3} \] لذا، لدينا: - \( AH = 2 \) - \( BH = \sqrt{3} \)