Pour la séance prochaine : relire le cours d'aujourd'hui. Exercice $$ 21 \quad $$ Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé $$ (\Omega, \mathcal{A}, P) $$. Soit $$ \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} $$ une suite de variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la méme loi qu'une variable aléatoire $$ X \hookrightarrow \mathcal{P}(1) $$. On note pour tout $$ n \geqslant 1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k} $$ et $$ \overline{X_{n}}=\frac{X_{n}}{n} $$. 1. Soit $$ n \geqslant 1 $$. Quelle est la loi de $$ S_{n} $$ ? 2. Soit $$ n \geqslant 1 $$. Exprimer $$ P\left(S_{n} \leqslant n\right) $$ comme une somme dépendant de $$ n $$. 3. Soit $$ n \geqslant 1 $$. Exprimer $$ P\left(S_{n} \leqslant n\right) $$ en fonction de $$ \overline{X_{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{V(X)}}\left(\overline{X_{n}}-E(X)\right) $$. Puis, en utilisant le théorème limite central, prouver que : $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!}=\frac{1}{2} $$.

Question

Elliott Herrera · Accepted Answer

Pour la séance prochaine, voici les réponses aux questions de l'exercice 21 : 1. La loi de $$ S_n $$ suit une loi normale avec une moyenne de $$ nE(X) $$ et une variance de $$ nV(X) $$. 2. $$ P(S_n \leqslant n) $$ peut être exprimée comme une somme de probabilités. 3. $$ P(S_n \leqslant n) $$ peut être exprimée en fonction de $$ \overline{X_n} $$ et du théorème de la limite centrale. 4. La limite $$ \lim_{n \rightarrow +\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2} $$ est prouvée en utilisant le théorème de la limite centrale.

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