\( y=\sinh (x) \)

双曲正弦函数（sinh函数）定义为： \[ y = \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \] ### 性质 1. **奇函数**：\(\sinh(-x) = -\sinh(x)\) 2. **导数**：\(\frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x)\) 3. **积分**：\(\int \sinh(x)\,dx = \cosh(x) + C\) 4. **恒等式**：\(\cosh^{2}(x) - \sinh^{2}(x) = 1\) 5. **反函数**：\(\sinh^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\) ### 图像 - 通过原点 \((0,0)\) - 当 \( x \) 增加时，\( \sinh(x) \) 增长得很快 - 当 \( x \) 减少时，\( \sinh(x) \) 减小得很快 ### 应用 - 描述悬挂链条的形状 - 分析波动和振动 - 电路理论中的应用 ### 与三角函数的关系 \[ \sinh(x) = -i \sin(i x) \] \[ \cosh(x) = \cos(i x) \] ### 总结 双曲正弦函数在数学和工程中非常重要，具有独特的性质和广泛的应用。