Wade Pearson

10/15/2023 · Elementary School

5. (2.5 pts) Considera el espacio de las funciones reales de una variable real, dado por: \[ \mathcal{F}=\{f \mid f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { es una función real } f(x), \forall x \in \mathbb{R}\} \] Por ejemplo, forman parte de este espacio funciones reales como \( f(x)= \) \( x^{2}, f(x)= \) sen \( (x), f(x)=e^{x} \), etc. Demuestra que \( \mathcal{F} \) es un espacio vectorial en el campo de los reales \( \mathbb{R} \) mediante las 10 propiedades de un espacio vectorial y definiendo las dos siguientes operaciones: a) Suma de 2 funciones: \( (f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall f, g \in \mathcal{F} \). b) Producto por 1 escalar: \( c f(x)=c \cdot f(x) \quad \forall c \in \mathbb{R}, \forall f \in \mathcal{F} \). Sugerencia: No olvides proponer al vector neutro, es decir, mencionar quién sería el vector " 0 " en tu espacio vectorial de funciones reales.