Soit \( A B C \) un triangle et \( M \) un point du plan. On pose \( : \vec{V}=2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C} \). 1) Montrer que \( \vec{V} \) est indépendant du point \( M \). 2) Soit \( K \) le barycentre des points \( (B ; 1) \) et \( (C ;-3) \). Montrer que \( : \vec{V}=2 \overrightarrow{K A} \) 3)Soit \( G \) le barycentre du système pondéré \( \{(A ; 2) ;(B ;-1) ;(C ;-3)\} \) a-Montrer que pour tout point \( M \) du plan : \( 2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}=-2 \overrightarrow{M G} \) b-Déterminer l'ensemble des points \( M \) du plan tels que : \( \|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}\| \leq\|2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}\| \) c-Déterminer l'ensemble des points \( M \) du plan tels que : \( \|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}\|=\|\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}\| \)

\( A B C \) est un triangle et \( I \) milieu de \( [B C] \). 1) Soit \( \operatorname{Ebar}\{(A, 1) ;(B, 2) \),\( \} et F b a r\{(B, 2) ;,(C, 1)\} \). a) Montrer que: \( \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \). b) Montrer que: \( \overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C} \) c) Construire les points \( I, E \) et \( F \). 2) Soit \( G b a r\{(A, 1) ;(B, 2) ;,(C, 1)\} \). a) Montrer que \( \operatorname{Gbar}\{(A, 1) ;(F, 3) \),\( \} . \) b) Montrer que \( G \in(E C) \). c) Montrer que \( G \in(I B) \) et construire \( G \). 3) Determiner l'ensemble des points \( M \) du plan qui verifient chacune des équations suivantes: a) \( \|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}\|=8 \) b) \( \|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}\|=\|\overrightarrow{M C}+2 \overrightarrow{M B}\| \)

[b] If \( b \) is the middle proportional between \( a \) and \( c \) , then prove that : \( \frac{a-b}{a-c}=\frac{b}{b+c} \)

6. \( A D, B E \) and \( C F \) are the three altitudes of \( \triangle A B C \). Show that \( \begin{array}{ll}\text { (i) Perimeter of triangle } A B C>2 A D & \text { (ii) Perimeter of triangle } A B C>2 B E \\ \text { (iii) Perimeter of triangle } A B C>2 C F & \text { (Perimeter of triangle } A B C)>2(A D+B E+C F)\end{array} \)

3) The exterior bisector of the vertex angle of an isosceles triangle \( \cdots \cdots . . . \). the base. \( \begin{array}{ll}\text { (a) bisects } & \text { (b) perpendicular to } \\ \text { (c) intersect } & \text { (d) parallel }\end{array} \)

Cos'è un cerchio?