Fuentes Adkins

12/11/2023 · Middle School

Exercice 3 Soit \( g \) une fonction deux fois dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( g(a) g(b)<0 \) pour \( a, b \in \mathbb{R} \). On suppose qu'il existe deux constantes positives \( m \) et \( M \) tels que \[ \left|g^{\prime}(x)\right| \geq m \text { et }\left|g^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, \] pour tout \( x \in[a, b] \). \[ x^{k+1}=x^{k}-\frac{g\left(x^{k}\right)}{g^{\prime}\left(x^{k}\right)} \] 1. Montrer que l'équation \( g(x)=0 \) admet une solution unique \( \bar{x} \in] a, b[ \). (Ind. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Rolle). 2. Soit \( x^{k} \in[a, b] \). On définit \( x^{k+1} \) par la formule de Newton Montrer que \[ \left|x^{k+1}-\bar{x}\right| \leq \frac{M}{2 m}\left|x^{k}-\bar{x}\right|^{2} . \] 3. Montrer qu'il existe \( c>0 \) tel que si \( \left.x^{0} \in\right] \bar{x}-c, \bar{x}+c[\subset[a, b] \), alors pour tout \( k \), \( \left.x^{k} \in\right] \bar{x}-c, \bar{x}+c\left[\right. \) et la suite \( \left\{x^{k}\right\} \) converge vers \( \bar{x} \).