Calculus Questions & Answers

5. (2.5 pts) Considera el espacio de las funciones reales de una variable real, dado por: \[ \mathcal{F}=\{f \mid f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { es una función real } f(x), \forall x \in \mathbb{R}\} \] Por ejemplo, forman parte de este espacio funciones reales como \( f(x)= \) \( x^{2}, f(x)= \) sen \( (x), f(x)=e^{x} \), etc. Demuestra que \( \mathcal{F} \) es un espacio vectorial en el campo de los reales \( \mathbb{R} \) mediante las 10 propiedades de un espacio vectorial y definiendo las dos siguientes operaciones: a) Suma de 2 funciones: \( (f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad \forall f, g \in \mathcal{F} \). b) Producto por 1 escalar: \( c f(x)=c \cdot f(x) \quad \forall c \in \mathbb{R}, \forall f \in \mathcal{F} \). Sugerencia: No olvides proponer al vector neutro, es decir, mencionar quién sería el vector " 0 " en tu espacio vectorial de funciones reales.

\( \frac{\text { 3. } \int(2 x+1)^{2} \cdot d x}{\text { 4. } \int(x-2) \cdot\left(x^{2}+2 x+4\right) \cdot d x} \)

1. \( f(x)=x^{4}+3 x^{2}, \quad a=-1 \)

\begin{tabular}{l} Question \\ A rectangle is to be inscribed in the ellipse with the following equation \\ Determine the maximum possible area of this rectangle. Enter an exact answer. \\ Provide your answer below: \\ Maximum area \( =\square \) units \( ^{2} \) \\ \hline\end{tabular}

So \( \lim _{x \rightarrow 2} 5 x^{3} \)

1. \( \int(2 x-1) \cdot(2 x+3) \cdot d x \) 2. \( \int \frac{x^{3}-8 x^{2}+x}{\sqrt{x}} \cdot d x \)

10. \( \int \mathrm{e}^{x} \cot \mathrm{e}^{x} d x \)

10. \( \int \mathrm{e}^{x} \cot \mathrm{e}^{x} d x \)

Question A farmer wants to construct a fence around an area of 150 square feet in a rectangular field and then divide it in half with a fence parallel to one of the sides of the rectangle. What dimensions should the fenced area have in order to minimize the length of fencing used? Provide your answer below: Length \( =\square \mathrm{ft} \), Width \( =\square \mathrm{ft} \)

\( 9 \int _ { 0 } \int \csc ^ { 2 } ( a - b x ) d x \)