Probability Questions & Answers

I we sample from a small finite population without replacement, the binomial distribution should not be used because the events are not independent. If sampling is done without replacement and the outcomes belong to one of two types, we can use the hypergeometric distribution. If a population has \( A \) objects of one type, while the remaining \( B \) objects are of the other type, and if \( n \) objects are sampled without replacement, then the probability of getting \( x \) objects of type \( A \) and \( n-x \) objects of type \( B \) under the hypergeometnc distribution is given by the following formula. In a lottery game, a bettor selects five numbers from 1 to 45 (without repetition), and a winning five-number combination is later randomly selected. Find the probabilities of getting exactly two winning numbers with one ticket. (Hint: Use \( A=5, B=40, n=5 \), and \( x=2) \) \( P(x)=\frac{A!}{(A-x) \mid x!} \cdot \frac{B!}{(B-n+x)!(n-x)!}+\frac{(A+B)!}{(A+B-n)!n!} \) \( P(R)=\square \) (Round to four decimal places as needed)

Determine whether the following statement makes sense or does not make sense, and explain your reasoning. Additional information may strengthen or weaken the probability of some inductive arguments. Choose the correct answer below. A. The statement makes sense because an inductive argument is not yet an inductive conclusion. B. The statement does not make sense because an inductive argument is not yet an inductive conclusion. C. The statement makes sense because one can never be absolutely certain that the conclusions of an inductive argument are true. D. The statement does not make sense because an inductive argument is always strengthened by additional information.

Let \( X \) and \( Y \) be two random variables with joint \( p . d . f \) : \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}c e^{-x}, & 0 \leq y \leq x<\infty \\ 0, & o . w\end{array}\right. \] Find: 1) The value of \( c \). 2) \( P(X<2, Y>1) \). 3) \( P(X \geq 2 Y) \). 4) \( P(X-Y \geq 1) \).

bag contains \( x \) balls of which 5 are red and the rest are green. One ball is taken out of the ag randomly and it is not replaced. A second ball is taken out of the bag. The probability of icking both green balls is \( \frac{3}{11} \). Show that the probability of picking both green balls can be presented by the equation: \( 4 x^{2}-59 x+165=0 \).

Resuelve correctamente cada uno de los siguientes ejercicios. Modelo binomial Utilizando el Modelo binomial resuelve los siguientes problemas. 1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el \( 80 \% \) de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? b) ¿Y cómo máximo 2?

1. Le premier élément de la machine est une série de trois rotors qui permettent de réaliser les premières connexions électriques. Ces rotors sont choisis parmi cinq modèles et lordre de positionnement dans la machine est important. Combien de configuration différentes ces rotors permettent-ils? 2. Chaqué rotor peut être placé sur 26 positions différentes, correspondant aux 26 lettres de l'alphabet. Combien de positions différentes peut-on donner à lensemble des trois rotors choisis? 3. La dernière étape consiste à réaliser un câblage sur um tableau de connexion. Vingt lettres sont reliées deux à deux et six restent inchangées. (a) Combien de manières différentes a-t-on de choisir six lettres inchangées parmi 26 ? (b) Les vingt lettres restantes sont alors reliées deux à deux par un câble. Pour le réaliser, on choisit deux letres parmi les vingt que l'on relie, puis deux nouvelles lettres parmi les dix-huit restantes et ainsi de suite. L'ordre de sélection des câbles n'étant pas important, combien a-t-on de câblages possibles? (c) En déduire un ordre de grandeur du nombre de réglages possibles de la machine Enigma.

1. Le premier élément de la machine est une série de trois rotors qui permettent de réaliser les premières connexions électriques. Ces rotors sont choisis parmi cinq modeles et lordre de positionnement dans la machine est important. Combien de configuration différentes ces rotors permettent-ils? 2. Chaque rotor peut être placé sur 26 positions différentes, correspondant aux 26 lettres de l'alphabet. Combien de positions différentes peut-on donner à l'ensemble des trois rotors choisis? 3. La dernière étape consiste à réaliser un câblage sur un tableau de connexion. Vingt lettres sont reliées deux à deux et six restent inchangées. (a) Combien de manières différentes a-t-on de choisir six lettres inchangées parmi 26 ? (b) Les vingt lettres restantes sont alors reliées deux à deux par un câble. Pour le réaliser, on choisit deux lettres parmi les vingt que lon relie, puis deux nouvelles lettres parmi les dix-huit restantes et ainsi de suite. L'ordre de sélection des câbles n'étant pas important, combien a-t-on de câblages possibles? (c) En déduire un ordre de grandeur du nombre de réglages possibles de la machine Enigma.

3.21. La belote se joue avec un jeu de 32 cartes, chaque carte possédant une valeur ( \( 7,8,9,10 \), Valet, Dame, Roi, As) ainsi qu'une couleur (pique, trèfle, coeur, carreau). 1. Au départ, chaque joueur possède une main de cinq cartes. (a) Combien de mains différentes existe-t-1? (b) Combien de mains ne comportant que des piques existe-t-il? (c) Combien de mains ayant exactement quatre carreaux existe-t-1? 2. A la fin de la deuxième donne, chaque joueur possède alors huit cartes dans sa main. (a) Combien de mains de huit cartes existe-t-il? (b) Combien de mains de huit cartes ayant exactement cinq cours existe-t-il? (c) Même question avec six, sept et huit cours. (d) En déduire le nombre de mains de huit cartes avec au moins cinq cceurs.

En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si: 1. los premios son diferentes; 2. los premios son iguales.

En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si: 1. los premios son diferentes; 2. los premios son iguales.