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Home Question Bank Math Calculus Archive 2024 December 16

Calculus Questions from Dec 16,2024

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8.6. Einerseits ist \( e^{-100} \approx 3.72 \cdot 10^{-44} \); andererseits gilt \[ e^{-100}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-100)^{n}}{n!}=1-100+5.000-\frac{500.000}{3}+\frac{12.500 .000}{3}-\ldots \] Das ist erstaunlich! Zu Beginn werden die Partialsummen schnell sehr groß bzw. sehr negativ (alternierend),,„am Ende \( { }^{\text {a }} \) konvergieren sie aber gegen eine sehr kleine Zahl. (a) Für welches \( N \in \mathbb{N} \) hat die Partialsumme \( s_{N}:=\sum_{n=0}^{N} \frac{(-100)^{n}}{n!} \) den größten Betrag? Wie groß ist \( s_{N} \) für dieses \( N \) ? (b) Wie groß muss \( N \in \mathbb{N} \) mindestens gewählt werden, damit die Partialsumme \( s_{N}= \) \( \sum_{n=0}^{N} \frac{(-100)^{n}}{n!} \) die Zahl \( e^{-100} \) so gut approximiert, dass man wenigstens die führende Dezi- malstelle 3 aus \( 3.72 \cdot 10^{-44} \) erkennt? Hinweis: Bei dieser Aufgabe darf ausprobiert werden, und es sollte ein Computer zu Hilfe genommen werden! Man benutze ein Computeralgebrasystem wie Sage, Maple oder Ma- thematica, oder aber die Internetseite WolframAlpha. Oder: selbst programmieren! Calculate the area bounded by the curves \( y = \sin(x) \) and \( y = \cos(x) \) over the interval \([0, \frac{\pi}{4}]\). حدد المساحة بين المنحنى \( y = e^{-x} \) والمحور السيني من \( x = 0 \) إلى \( x = 1 \). 8) \( \lim _{y \rightarrow h} \frac{y+h}{h^{2}-y^{2}} \) 7. \( f(x)=\frac{8}{5} \sec 4 x^{5} \) 8) \( \lim _{y} \frac{y+h}{h^{2}-y^{2}} \) 3. \( \lim _{y \rightarrow 0} \frac{4 y^{5}+5 y^{3}}{y^{4}-y^{2}}=0 \) \( \int _{1}^{2}\sqrt {1+(x^{2}-\frac{1}{4x^{2}})^{2}} d x \) El valor de \( \iint_{B} \int(x-y) d V \) donde \( B \) es la región acotada por \( x+2 y+z=2, x=2 y, x=0, z=0 \), es: El valor de \( \iint_{B} \int(x-y) d V \) donde \( B \) es la región acotada por \( x+2 y+z=2, x=2 y, x=0, z=0 \), es:
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