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Home Question Bank Math Calculus Archive 2025 January 09

Calculus Questions from Jan 09,2025

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3. Utilizar integración por partes para calcular las integrales \( \begin{array}{ll}\text { a) } \int x \tan ^{2}(x) d x & \text { d) } \int \frac{\mathrm{e}^{1 / x}}{x^{3}} d x \\ \text { b) } \int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x & \text { e) } \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}} d x \\ \text { c) } \int x^{2} \operatorname{sen}(2 x) d x & \end{array} \) 3. Utilizar integración por partes para calcular las integrales \( \begin{array}{ll}\text { a) } \int x \tan ^{2}(x) d x & \text { d) } \int \frac{\mathrm{e}^{1 / x}}{x^{3}} d x \\ \text { b) } \int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x & \text { e) } \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}} d x \\ \text { c) } \int x^{2} \operatorname{sen}(2 x) d x & \end{array} \) \( \begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}+x-2}= \\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x-10}{x^{2}+x-6}= \\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{25 x^{2}-49}{20 x^{2}-12 x-56}= \\ \text { f) } \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}= \\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}= \\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}= \\ \lim _{x \rightarrow-7} \frac{x-7}{\sqrt{x+7}}= \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}= \\ \end{array} \) \( f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x \text { if } x \leq-z z \\ x \text { if }-z<x<z \\ x \text { if } x \geq z\end{array}\right. \) ers a) \( \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 2} \frac{7 x^{3}-10 x^{4}-13 x+6}{3 x^{2}-6 x-8}= \) b) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+3 x+7}{x^{2}-2 x+2}= \) f) \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{3}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+\frac{1}{4}}{-\frac{3}{4} x^{2}+\frac{5}{3} x+\frac{5}{4}}= \) c) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-3 x^{3}+2 x^{2}-x+3}{-8 x^{2}-6 x+36}= \) g) \( \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x+\frac{2}{5}}{\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{3}{4}}= \) d) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{4 x^{2}+5}-x^{2}}{\left(x^{3}+5\right)^{2}+3 x-5}= \) e) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 x}+3 x^{2}+2 x}{\sqrt[3 x^{2}]{ }-4 x^{3}-6}= \) h) \( \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{-\frac{3}{4} x^{3}+\frac{2}{3} x^{2}-\frac{1}{4} x+\frac{5}{3}}{\frac{4}{3} x^{2}+\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}}= \) 5) Se bombea aire en el interior de un glabo a razón de 4.5 pulgadas cubleas por minuto. Calcular ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es 2 pulgadas \( f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x \text { if } x \leq-2 z \\ x \text { if }-z<x<z \\ x \text { if } x \geq z\end{array}\right. \) Instrucciones. Resuelva las siguientes problemas. Anote el procedimiento que utilizo. 1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \). 2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \). 3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \). 4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq-1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad lim \( f(x)=f(a) \) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \). 5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \). 6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=3 \) ? 7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}(\sec x)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=\pi \) ? 8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \). 9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \). 10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \) ? Instrucciones. Resuelva las siguientes problemas. Anote el procedimiento que utilizo. 1. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin (2 x)} \). 2. Sea \( f(x)=\frac{-6 x^{2}+x-1}{x^{2}+3} \). Determinar \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \). 3. Determinar \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x+4}-3}{x-1} \). 4. Sea \( f(x)=\frac{x+1}{x e^{x}+e^{x}} \) para \( x \neq-1 \). Si la función \( f \) cumple la igualdad lim \( f(x)=f(a) \) para todo número real \( a \). Determinar \( f(-1) \). 5. Determinar \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sec x \). 6. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}\left(x^{4}-4 x^{2}-10 x\right)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=3 \) ? 7. ¿Cuál es el valor de \( \frac{\mathrm{d}(\sec x)}{\mathrm{d} x} \) en \( x=\pi \) ? 8. Sea \( y=\frac{x^{2}+6 x}{10-x^{2}} \). Calcular \( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \). 9. Sea \( g(x)=\sqrt{x} \sin x \). Calcular \( g^{\prime}(x) \). 10. ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que interseca la gráfica de \( g(x)=3^{2 x} \) en \( x=0 \) y \( x=2 \) ? 4.65 Kostnaden \( K(x) \mathrm{kr} \) ved å produsere og selge \( x \) enheter av en vare er gitt ved \( K(x)=0,08 x^{2}+40 x+3000, D_{K}=[0,500] \). Inntekten \( I(x) \mathrm{kr} \) er gitt ved \( I(x)=-0,02 x^{2}+80 x \). a Finn et uttrykk for overskuddet \( O(x) \mathrm{kr} \). b Nár er overskuddet størst? Hvor stort er det da?
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