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Home Question Bank Math Calculus Archive 2025 January 16

Calculus Questions from Jan 16,2025

Browse the Calculus Q&A Archive for Jan 16,2025, featuring a collection of homework questions and answers from this day. Find detailed solutions to enhance your understanding.

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Solve the equation. \( \frac{d y}{d x}=-\frac{e^{x} y^{2}}{10} \) 27. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \csc 2 x}{\cos 5 x} \) Partie B On considère la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=2 x-1-x e^{-x} \) On désigne par ( \( C \) ) sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé ( \( O, I, J \) ). Unité graphique: 2 cm 1. Calculer les limites de \( f \) en \( -\infty \) et en \( +\infty \) 2. On adrnet que \( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) Montrer que pour tout \( x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=g(x) \) Email : [email protected] 87 Marathan de Butterfly "Elude de Fonctions " Terminale 10 3. Etudier les variations de \( f \), puis dresser son tableau de variation 4. Calculer \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x} \), puisinterpréter graphiquernent le résultat obtenu 5- a) Démontrer que la droite ( \( D \) ): \( y=2 x-1 \) est une asymptote à la courbe ( \( C \) ) en \( +\infty \) b) Etudier la position relative de la courbe ( \( C \) ) par rapport à (D) 6- Déterminer une équation de la tangente ( \( T \) ) a la courbe ( \( C \) ) au point d'abscissc 0 7. a) Démontrer que \( f(\alpha)=2 a+1+\frac{2}{\alpha-1} \) b) En utilisant la question A-2-b, montrer que: \( -1,40<f( \) a \( )<-1,02 \) 8. Construire avec précision la courbe ( \( C \) ) et lesdroites ( \( D \) ) et ( \( T \) ) danslerepère \( (O, I, I) \). On prendra \( f(\alpha) \approx-1,2 \) \( \lim _ { x \rightarrow + \infty } 2 ( \frac { x ^ { 3 } - 1 } { x ^ { 3 } - x } ) ^ { x ^ { 2 } + 1 } = \) \( \int _ { 3 M } w = \int _ { M } d w \) \( \lim _ { x \rightarrow + \infty } 2 ^ { ( \frac { x ^ { 3 } - 1 } { x ^ { 3 } + x } ) ^ { r ^ { 2 } - 1 } } \) \( \lim _ { x \rightarrow - } \frac { \sqrt[ 3 ] { x ^ { 7 } - 2 x + 4 } } { 3 x ^ { 2 } - 1 } \) Sketch the region enclosed by \( y=6 x \) and \( y=8 x^{2} \). Decide whether to integrate with respect to \( x \) or \( y \). Then find the area of the region. 1. Considere o cenário simplificado de uma empresa de extração mineira que pretende iniciar atividade e está em negociação com a autarquia relativamente à dimensão da mina a construir. Seja \( y \) a produção alvo por mês da empresa, em milhares de euros, estima-se que o consumo mensal na região pelos trabalhadores da mina seja, em milhares de euros: \[ C(y)=0.012 y+0.000028 y^{2} \] O tratamento da poluição será da responsabilidade de instituições públicas, assumindo-se um custo mensal, em milhares de euros, de: \[ P(y)=0,00021 \times y+0,0000029 \times y^{2}+0,03 \times C(y) \] Adicionalmente, assumindo que os custos com salários da empresa serão \( S(y)=0,02 y \), em milhares de euros, prevê-se que os impostos auferidos mensalmente, em milhares de euros, sejam: \( \quad I(y)=0,15 \times(y-2 S(y))+0,25 \times(S(y)-C(y))+0,17 \times C(y) \) Doc. \( \times \) Pedrocastelo fereira \( \lim _ { x \rightarrow + } ( \sqrt { \frac { x - 2 } { x + 5 } } ) ^ { x } = \)
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