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Home Question Bank Math Geometry Archive 2025 January 02

Geometry Questions from Jan 02,2025

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Quindi la circonferenza cercata ha equazione \( \left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5} \). EsERCIzIo 19.17 Sono dati nel piano i punti \( A(-1,1) \quad B(2,1) \quad C(1,2) \) (i) Determinare perimetro e area del triangolo \( A B C \). (ii) Calcolare il centro della circonferenza circoscritta ad \( A B C \). (iii) Calcolare il raggio della circonferenza inscritta ad \( A B C \). (iv) Determinare la circonferenza passante per \( A, B, C \). Svolgimento SVolgmento Si ottiene facilmente \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16 \), ovvero Estracizio 19.15 Per quali valori di \( k \) la seguente equazione rappresenta una circonferenza? \[ x^{2}+y^{2}-3 x+y+k=0 \] ABC est un triangle. 1. Placer les points \( D, E \) et \( F \) tels que : \( \overrightarrow{A D}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A C} ; \overrightarrow{B E}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{C B} \) et \( F \) est le milieu de \( [A C] \). 2. Exprimer, en justifiant, le vecteur \( \overline{A B} \) en fonction de \( \overrightarrow{F E} \). 3. a) Exprimer le vecteur \( \overline{A E} \) en fonction de \( \overrightarrow{A B} \) et \( \overrightarrow{A C} \). b) En déduire un réel \( k \) tel que \( \overrightarrow{A D}=k \overrightarrow{A E} \). c) Que peut-on alors conclure? 4. a) Placer le point \( M \) tel que : \( \overline{M A}-3 M B=\overline{0} \) b) Placer le point \( G \) symétrique de \( F \) par rapport à \( C \). Montrer que \( \overrightarrow{G A}=\frac{3}{2} \overline{C A} \) puis que \( \overline{G D}=\frac{3}{2} \overline{A B} \). c) En déduire la nature du quadrilatère \( A M D G \). EsERCIzIo 19.16 Trovare la circonferenza tangente nell'origine alla retta \( r: y-3 x=0 \) ed avente il centro nella retta \( s: 2 x+y-1=0 \). svolgimento Ricordiamo che la retta tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Detta allora \( t \) la retta perpendicolare ad \( r \) e passante per l'origine, si ha che il centro della circonferenza è l'intersezione di \( s \) e \( t \). Si ottiene \( t: x+3 y=0 \) e \( C\left(\frac{3}{5},-\frac{1}{5}\right) \). Il raggio è dato dalla distanza di \( C \) dall'origine: \( R=\sqrt{\frac{2}{5}} \). Quindi la circonferenza cercata ha equazione \( \left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5} \). EsERCIzIo 19.17 Sono dati nel piano i punti \( A(-1,1) \quad B(2,1) \) SVOLGImento Applichiamo il completamento dei quadrati. Abbiamo \[ \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}+k=0 \] Poiché il raggio al quadrato in tale equazione è dato da \( \frac{5}{2}-k \), si deve avere \( k<\frac{5}{2} \) EsERCIzIo 19.16 Trovare la circonferenza tangente nell'origine alla retta \( r: y-3 x=0 \) Testactro 19.11 Dato il punto \( A(1,-1) \) e la retta r I \( x-y-5=0 \), determinare (i) la proieaione ortogonale di \( A \) su \( r_{i} \) (ii) la distanza di \( A \) da \( r \) : (iii) il simmetrico di A rispetto ad \( r \). svotamento (i) Ci serve la retta perpendicolare ad \( r \) passante per \( A \). Essa of \( r^{\prime}: x+y=0 \), La proieatione di \( A \) su \( r \) è I'interseaione di \( r \) con \( r^{\prime}: \) il punto \( A^{\prime}\left(1,-\frac{1}{2}\right) \). (ii) La distanza di \( A \) da \( r \) coincide con la distanza di \( A \) da \( A^{\prime} \) : \( d= \) \( \sqrt{\left(\frac{5}{2}-1\right)^{2}+\left(-\frac{5}{2}+1\right)^{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{2} \). 14) In the figure ' O ' is the centre of circle. AP and AQ are tangents from external point A . If \( \angle \mathrm{PAQ}=80^{\circ} \) then find \( \angle \mathrm{AOF} \) Esencizio 19.11 Dato il punto \( A(1,-1) \) e la retta \( r: x-y-5=0 \), determinare (i) la proiezione ortogonale di \( A \) su \( r \); (ii) la distanza di \( A \) da \( r \); (iii) il simmetrico di \( A \) rispetto ad \( r \). SVOLGIMENTO (i) Ci serve la retta perpendicolare ad \( r \) passante per \( A \). Essa è̀ \( r^{\prime}: x+y=0 \). La VERIFICA CON GEOGEBRA Disegna un angolo \( A \widehat{O B} \) e la sua bisettrice \( t \). Da un punto \( P \) appartenen- te a \( t \), conduci una retta a essa perpendicolare, che incontra i lati dell'angolo nei punti \( C \) e \( D \). Veri- fica con GeoGebra che \( P \) è il punto medio di \( C D \) e poi dimostralo. In un trapezio isoscele la somma delle basi misura 56 cm e una è \( \frac{5}{3} \) dell'altra. Calcola la misura delle diagonali sapendo the l'altezza misura 96 cm . [ 100 cm ]
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