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Home Question Bank Other Archive 2025 January 19

Other Questions from Jan 19,2025

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Esercizio 3. Sia dato il seguente sottospazio di \( \mathbb{R}^{4}: \) \[ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=0\right\} \] (a) (3pt) Calcolare una base ortonormale di \( W \) (b) \( (2 \mathrm{pt}) \) Calcolare la dimensione ed una base di \( W^{\perp} \) Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2. (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettorì di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2. (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è èl sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2. (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettori di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. (d) (2pt) Senza passare al calcolo del polinomio caratteristico, sarebbe stato possibile dire che esso ha sicuramente radici tutte reali. Perché? Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2 . (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettori di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. (d) (2pt) Senza passare al calcolo del polinomio caratteristico, sarebbe stato possibile dire che esso ha sicuramente radici tutte reali. Perché? Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2. (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettori di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. (d) (2pt) Senza passare al calcolo del polinomio caratteristico, sarebbe stato possibile dire che esso ha sicuramente radici tutte reali. Perché? Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2 . (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b). (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettori di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. (d) (2pt) Senza passare al calcolo del polinomio caratteristico, sarebbe stato possibile dire che esso ha sicuramente radici tutte reali. Perché? Esercizio 1. È dato l'endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \). Si sa che il suo nucleo è il sottospazio \[ U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{3}=2 x_{1}-x_{3}=0\right\} \] che \( F(1,1,1,1)=(1,-1,1,-1) \) e che il vettore \( (0,1,-1,0) \) è autovettore associato all'autovalore -2. (a) (2pt) Calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica. (b) (2pt) Calcolare nucleo e immagine di \( F \). (c) (2pt) Calcolare autovalori ed autovettori di \( F \) e stabilire se \( F \) è diagonalizzabile. (d) (2pt) Senza passare al calcolo del polinomio caratteristico, sarebbe stato possibile dire che esso ha sicuramente radici tutte reali. Perché? Ejercicio 4 (2 puntos) Se consideran las matrices \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right) \) y \( \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ m & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right) \) donde \( \mathrm{m} \in \square \) Calcula el rango de las matrices AB y BA dependiendo de los valores del parámetro m. Determine whether the study depicts an observational study or an experiment. Fifty patients with diabetes are divided into two groups. One group is treated with an experimental drug. The other is not. After one year, both groups are questioned about their blood sugar levels. Is the study an observational study or an experiment? A. The study is an observational study because the study examines individuals in a sample, but does not try to influence the response variable. B. The study is an observational study because the researchers control one variable to determine the effect on the response variable. C. The study is an experiment because the study examines individuals in a sample, but does not try to influence the variable of interest. D. The study is an experiment because the researchers control one variable to determine the effect on the response variable.
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