8. En un poligono regular ABCDEF...... Las diagonales $$ \overline{A E} $$ y $$ \overline{B F} $$ determinan un ángulo de medida $$ 160^{\circ} $$. Halle el número de lados de dicho poligono regular. $$ \begin{array}{lll} ext { A) } 12 & ext { B) } 15 & ext { C) } 16 \ ext { D) } 18 & ext { E) } 20 & \end{array} $$

Question

8. En un poligono regular ABCDEF...... Las diagonales $$ \overline{A E} $$ y $$ \overline{B F} $$ determinan un ángulo de medida $$ 160^{\circ} $$. Halle el número de lados de dicho poligono regular. $$ \begin{array}{lll}	ext { A) } 12 & 	ext { B) } 15 & 	ext { C) } 16 \ 	ext { D) } 18 & 	ext { E) } 20 & \end{array} $$

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Para resolver el problema, primero necesitamos entender la relación entre el número de lados de un polígono regular y los ángulos formados por sus diagonales.

1. **Identificación de los elementos**: 
   - Sea $$ n $$ el número de lados del polígono regular.
   - Las diagonales $$ \overline{AE} $$ y $$ \overline{BF} $$ forman un ángulo de $$ 160^\circ $$.

2. **Cálculo del ángulo entre las diagonales**:
   - En un polígono regular, el ángulo entre dos diagonales que se cruzan se puede calcular usando la fórmula:
   $$
   \text{Ángulo} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}
   $$
   - Sin embargo, en este caso, el ángulo que se forma entre las diagonales $$ \overline{AE} $$ y $$ \overline{BF} $$ es el ángulo externo, que se puede calcular como:
   $$
   \text{Ángulo externo} = \frac{360^\circ}{n}
   $$

3. **Relación entre los ángulos**:
   - Dado que el ángulo entre las diagonales es $$ 160^\circ $$, podemos establecer la relación:
   $$
   180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = 160^\circ
   $$

4. **Resolviendo la ecuación**:
   - Despejamos $$ n $$:
   $$
   180^\circ - 160^\circ = \frac{360^\circ}{n}
   $$
   $$
   20^\circ = \frac{360^\circ}{n}
   $$
   $$
   n = \frac{360^\circ}{20^\circ}
   $$
   $$
   n = 18
   $$

Por lo tanto, el número de lados del polígono regular es $$ n = 18 $$.

La respuesta correcta es la opción **D) 18**.
El polígono regular tiene 18 lados.

En un poligono regular ABCDEF… Las
diagonales y determinan un ángulo de
medida . Halle el número de lados de
dicho poligono regular.

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En un poligono regular ABCDEF… Las diagonales y determinan un ángulo de medida . Halle el número de lados de dicho poligono regular.