ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

Ask by Mccoy Harris. in Mexico

Mar 23,2025

Question

ealiza las siguientes operaciones y problemas. Recuerda que si no existe procedimiento el reactivo no cortara. Además de
ue el resultado deberá estar simplificado. Valor de cada pregunta 2 puntos.
Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su dagulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

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Mar 23,2025

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1) Sea la recta dada  
$$
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1.
$$
Multiplicamos la ecuación por 6 para eliminar denominadores:
$$
3x+2y=6 \quad \Longrightarrow \quad 3x+2y-6=0.
$$
Para obtener la pendiente de esta recta pasamos a la forma pendiente-intersección:
$$
2y=-3x+6 \quad \Longrightarrow \quad y=-\frac{3}{2}x+3.
$$
La pendiente de la recta dada es $$-\frac{3}{2}$$.  
La recta perpendicular tendrá pendiente inversa y opuesta en signo, es decir:
$$
m_{\perp}=\frac{2}{3}.
$$

Usando el punto $$P(-2,-3)$$ y la forma punto-pendiente se tiene:
$$
y-(-3)=\frac{2}{3}(x-(-2)) \quad \Longrightarrow \quad y+3=\frac{2}{3}(x+2).
$$
Multiplicamos ambos lados por 3 para deshacernos del denominador:
$$
3y+9=2(x+2) \quad \Longrightarrow \quad 3y+9=2x+4.
$$
Pasando todos los términos al lado izquierdo se obtiene la ecuación en forma general:
$$
2x-3y-5=0.
$$

2) Se tiene la recta
$$
-2x+5y=10.
$$
Pasamos a la forma pendiente-intersección:
$$
5y=2x+10 \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{2}{5}x+2.
$$
La pendiente es $$\frac{2}{5}$$.  
La recta buscada es paralela y pasa por $$P(2,3)$$, por lo que su dirección es la misma.  
Usando la forma simétrica para la recta, notamos que un vector director de la recta es $$(5,2)$$ (ya que $$m=\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$$).  
Por lo tanto, la ecuación en forma simétrica es:
$$
\frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{2}.
$$

3) Dados los puntos $$P(1,4)$$ y $$Q(-3,-2)$$, calculamos la pendiente:
$$
m=\frac{-2-4}{-3-1}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.
$$
Utilizando la forma punto-pendiente con $$P(1,4)$$:
$$
y-4=\frac{3}{2}(x-1).
$$
Pasando a la forma ordinaria (forma pendiente-intersección) despejamos $$y$$:
$$
y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+4=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.
$$

Para obtener el ángulo de inclinación $$\theta$$ hacemos uso de:
$$
\tan \theta=\frac{3}{2}.
$$
Entonces:
$$
\theta=\arctan\left(\frac{3}{2}\right).
$$
La gráfica de esta recta pasará por los puntos $$ (1,4) $$ y $$ (-3,-2) $$.

4) Sea las rectas paralelas
$$
3x+9y-5=0 \quad \text{y} \quad 3x+9y+2=0.
$$
La fórmula para la distancia entre rectas paralelas es:
$$
d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}},
$$
donde las ecuaciones tienen la forma $$Ax+By+C=0$$.  
Identificamos $$C_1=-5$$ y $$ C_2=2$$ (manteniendo $$A=3$$ y $$B=9$$).  
Entonces:
$$
d=\frac{|2-(-5)|}{\sqrt{3^2+9^2}}=\frac{7}{\sqrt{9+81}}=\frac{7}{\sqrt{90}}=\frac{7}{3\sqrt{10}}.
$$
Para racionalizar el denominador:
$$
d=\frac{7\sqrt{10}}{30}.
$$

5) Se desea determinar el ángulo entre la recta que pasa por $$A(1,3)$$ y $$B(-4,2)$$ y la recta que pasa por $$C(-5,4)$$ y $$D(5,-3)$$.

Primero, calculamos la pendiente de la recta $$AB$$:
$$
m_1=\frac{2-3}{-4-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
$$

Luego, la pendiente de la recta $$CD$$ se calcula:
$$
m_2=\frac{-3-4}{5-(-5)}=\frac{-7}{10}.
$$

El ángulo $$\theta$$ entre dos rectas viene dado por:
$$
\tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|.
$$
Sustituimos:
$$
m_2-m_1=-\frac{7}{10}-\frac{1}{5}=-\frac{7}{10}-\frac{2}{10}=-\frac{9}{10},
$$
$$
1+m_1 m_2=1+\left(\frac{1}{5}\cdot -\frac{7}{10}\right)=1-\frac{7}{50}=\frac{50-7}{50}=\frac{43}{50}.
$$
Así:
$$
\tan \theta=\left|\frac{-\frac{9}{10}}{\frac{43}{50}}\right|=\frac{9}{10}\cdot\frac{50}{43}=\frac{450}{430}=\frac{45}{43}.
$$
Finalmente:
$$
\theta=\arctan\left(\frac{45}{43}\right).
$$

Respuestas finales:

1) $$2x-3y-5=0.$$

2) $$\displaystyle \frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{2}.$$

3) $$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$, con ángulo de inclinación $$\theta=\arctan\left(\frac{3}{2}\right).$$

4) $$\displaystyle d=\frac{7}{3\sqrt{10}} \; \left(\text{o} \; \frac{7\sqrt{10}}{30}\right).$$

5) $$\theta=\arctan\left(\frac{45}{43}\right).$$
1) La ecuación de la recta en forma general es $$2x - 3y - 5 = 0$$. 2) La ecuación en forma simétrica es $$\frac{x - 2}{5} = \frac{y - 3}{2}$$. 3) La ecuación en forma ordinaria es $$y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$$, y el ángulo de inclinación es $$\theta = \arctan\left(\frac{3}{2}\right)$$. 4) La distancia entre las rectas paralelas es $$\frac{7}{3\sqrt{10}}$$ o $$\frac{7\sqrt{10}}{30}$$. 5) El ángulo entre las dos rectas es $$\theta = \arctan\left(\frac{45}{43}\right)$$.

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