3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах \( (2 ;-3 ; 1) \) и \( (4 ;-1 ; 2) \). Одобрено на заседании кафедры от «17»__ декабря__ 2024 г., протокол №__12/1_

Чтобы найти площадь параллелограмма, образованного векторами \( \mathbf{a} = (2, -3, 1) \) и \( \mathbf{b} = (4, -1, 2) \), необходимо вычислить модуль векторного произведения этих двух векторов. Для этого сначала найдем координаты векторного произведения: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3) \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 4) \] Это упрощается до: \[ = \mathbf{i}(-6 + 1) - \mathbf{j}(4 - 4) + \mathbf{k}(-2 + 12) = \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(10) = (-5, 0, 10) \] Теперь находим модуль этого вектора: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 0 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 5\sqrt{5} \). --- Параллелограмм — это фигура, у которой противоположные стороны равны и параллельны. Это геометрическая конфигурация, и векторный подход позволяет находить различные его параметры, такие как площадь и периметр, с помощью немногочисленных операций над векторами. На практике, подобные вычисления часто применяются в таких областях, как физика или инженерия, где можно моделировать силы и их воздействие на объекты. Постепенное освоение векторной алгебры — это увлекательный процесс. Но важно обращать внимание на знаки при вычислениях! Забудьте об этом — и вы можете запутаться в результатах. Например, ошибки в знаках в координатах векторов могут сильно повлиять на итоговый ответ как для площади, так и для других важных характеристик параллелограмма. Проверяйте свои вычисления, и все получится!