2) Si fissi nel piano un riferimento cartesiano ortonormale $$ R C(O x y) $$, con base ortonormale associata $$ \{\vec{i}, j\} $$. Si considerino poi le retter : $$ 3 x+y-1=0 \quad s: 2 x-3 y-8=0 $$. Allora, nel fascio generato da $$ r $$ ed $$ s $$ : c'è un'unica retta parallela al vettore $$ \frac{\pi}{3} \vec{i}-\sqrt{2} \vec{j} $$ ci sono due rette tangenti alla circonferenza $$ \mathcal{C}: x^{2}+y^{2}=16 $$ ci sono due rette distanti 3 da $$ O $$ c'è una retta che è perpendicolare sia alla retta $$ u: x+y=0 $$, sia alla retta $$ v:\left\{\begin{array}{l}x=t+2 \ y=2 t+1\end{array}(t \in \mathbb{R}) ight. $$

Question

2) Si fissi nel piano un riferimento cartesiano ortonormale $$ R C(O x y) $$, con base ortonormale associata $$ \{\vec{i}, j\} $$. Si considerino poi le retter : $$ 3 x+y-1=0 \quad s: 2 x-3 y-8=0 $$. Allora, nel fascio generato da $$ r $$ ed $$ s $$ : c'è un'unica retta parallela al vettore $$ \frac{\pi}{3} \vec{i}-\sqrt{2} \vec{j} $$ ci sono due rette tangenti alla circonferenza $$ \mathcal{C}: x^{2}+y^{2}=16 $$ ci sono due rette distanti 3 da $$ O $$ c'è una retta che è perpendicolare sia alla retta $$ u: x+y=0 $$, sia alla retta $$ v:\left\{\begin{array}{l}x=t+2 \ y=2 t+1\end{array}(t \in \mathbb{R})ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

En el fascio generado por las rectas $$ r $$ y $$ s $$, analizamos cada una de las afirmaciones:

1. **Existe una única recta paralela al vector $$ \frac{\pi}{3} \vec{i} - \sqrt{2} \vec{j} $$:**  
   **Verdadero.** Dentro del fascio, solo puede existir una recta con una pendiente específica dada por el vector mencionado. Por lo tanto, hay una única recta que cumple con esta condición.

2. **Existen dos rectas tangentes a la circunferencia $$ \mathcal{C}: x^{2} + y^{2} = 16 $$:**  
   **Falso.** Al resolver las condiciones de tangencia, se obtiene una ecuación cuadrática sin soluciones reales, lo que implica que no existen rectas en el fascio que sean tangentes a la circunferencia.

3. **Existen dos rectas distantes 3 unidades del origen $$ O $$:**  
   **Falso.** Al aplicar la fórmula de la distancia de una recta al origen, no se obtienen soluciones reales para la distancia especificada, lo que significa que no hay rectas en el fascio a una distancia de 3 unidades del origen.

4. **Existe una recta que es perpendicular tanto a la recta $$ u: x + y = 0 $$ como a la recta $$ v $$:**  
   **Falso.** No es posible que una recta sea perpendicular a dos rectas con pendientes diferentes simultáneamente. Por lo tanto, no existe tal recta en el fascio.

**Resumen:**
- **Solo la primera afirmación es verdadera.**
- **Las demás afirmaciones (segunda, tercera y cuarta) son falsas.**
En el fascio de rectas generado por $$ r $$ y $$ s $$, solo existe una recta paralela al vector $$ \frac{\pi}{3} \vec{i} - \sqrt{2} \vec{j} $$. Las otras afirmaciones son falsas: no hay rectas tangentes a la circunferencia $$ \mathcal{C} $$, rectas a una distancia de 3 unidades del origen, ni rectas perpendiculares a ambas rectas $$ u $$ y $$ v $$.

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