52. Determina el rango de la función $$ f(\mathbf{x})=\mathbf{5 - 3 ( x - 2 ) ^ { 2 }} $$ A) $$ y \in \Re, y \geq 5 $$ B) $$ x \in \Re, y \in \Re $$ C) $$ x \in \Re, x \geq 5 $$ D) $$ y \in \Re, y \leq 5 $$

Question

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- La función dada es $$ f(x) = 5 - 3 ( x - 2 )^2 $$.

- Primero, observamos que $$ ( x - 2 )^2 $$ siempre es mayor o igual a 0, es decir,

$$
  ( x - 2 )^2 \geq 0 \quad \text{para todo } x \in \Re.
  $$

- Multiplicamos por $$-3$$ (recordando que al multiplicar una desigualdad por un número negativo se invierte la desigualdad):

$$
  -3 ( x - 2 )^2 \leq 0.
  $$

- Luego, sumamos 5 a ambos lados:

$$
  f(x) = 5 - 3 ( x - 2 )^2 \leq 5.
  $$

- Esto significa que el valor máximo de $$ f(x) $$ es 5, y se alcanza cuando $$ (x-2)^2 = 0 $$, es decir, cuando $$ x = 2 $$.

- Por lo tanto, la función toma todos los valores reales menores o iguales a 5, es decir,

$$
  y \in \Re, \quad y \leq 5.
  $$

- La respuesta correcta es la opción D.
El rango de la función $$ f(x) = 5 - 3 ( x - 2 )^2 $$ es $$ y \in \Re, y \leq 5 $$.

Determina el rango de la función

A)
B)
C)
D)

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Determina el rango de la función A) B) C) D)