Dans le plan (P), on considère un triangle ABC isocèle en A , de hauteur $$ [\mathrm{AH}] $$, telle que $$ \mathrm{AH}=\mathrm{BC}=4 $$, l'unité choisie étan e centimètre. 1) Construire, en justifiant, le point G barycentre du système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, 1) ;(C, 1)\} $$ 2) M est un point quelconque de ( P$$ ) $$. Montrer que le vecteur $$ \vec{V}=2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C} $$ est un vecteur de norme 8 3) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}\|=\|\vec{V}\| $$ 4) On considère le système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, n) ;(C, n)\} $$ où $$ n $$ est un entier naturel fixé. a) Montrer que le barycentre $$ G_{n} $$ de ce système, existe quelle que soit la valeur de $$ n $$ p) Montrer que pour tout entier naturel $$ n $$, $$ G_{n} $$ appartient à $$ [\mathrm{AH}] $$ s) Soit $$ \Gamma_{n} $$ l'ensemble des points M du plan tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A}+n \overrightarrow{M B}+n \overrightarrow{M C}\|=n\|\vec{V}\| $$. Montrer que $$ \Gamma_{n} $$ est un cercle contenant le point A , dont on préciserale centre et le rayon d) Déterminer la distance $$ A G_{n} $$ en fonction de $$ n $$ 5) Quel est le comportement de $$ G_{n} $$ lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$ ?

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape en suivant les instructions données.

### 1) Construction du point G barycentre du système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, 1) ;(C, 1)\} $$

Le barycentre $$ G $$ d'un système de points pondérés est donné par la formule :

$$
\vec{G} = \frac{1}{P} \sum_{i} m_i \vec{P_i}
$$

où $$ P $$ est la somme des poids, $$ m_i $$ sont les poids et $$ \vec{P_i} $$ sont les vecteurs position des points.

Dans notre cas :

- $$ m_A = 2 $$
- $$ m_B = 1 $$
- $$ m_C = 1 $$

La somme des poids est :

$$
P = 2 + 1 + 1 = 4
$$

Le barycentre $$ G $$ est donc :

$$
\vec{G} = \frac{1}{4} (2 \vec{A} + 1 \vec{B} + 1 \vec{C}) = \frac{1}{4} (2 \vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
$$

### 2) Montrer que le vecteur $$ \vec{V}=2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C} $$ est un vecteur de norme 8

Calculons la norme de $$ \vec{V} $$.

$$
\vec{V} = 2 \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} - \overrightarrow{M C}
$$

En utilisant la définition des vecteurs :

$$
\overrightarrow{M A} = \vec{M} - \vec{A}, \quad \overrightarrow{M B} = \vec{M} - \vec{B}, \quad \overrightarrow{M C} = \vec{M} - \vec{C}
$$

Nous avons :

$$
\vec{V} = 2(\vec{M} - \vec{A}) - (\vec{M} - \vec{B}) - (\vec{M} - \vec{C})
$$

En simplifiant :

$$
\vec{V} = 2\vec{M} - 2\vec{A} - \vec{M} + \vec{B} - \vec{M} + \vec{C} = 0\vec{M} - 2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}
$$

La norme de $$ \vec{V} $$ est donnée par :

$$
\|\vec{V}\| = \| -2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} \|
$$

Sachant que $$ \mathrm{AH} = 4 $$ et $$ \mathrm{BC} = 4 $$, nous pouvons montrer que $$ \|\vec{V}\| = 8 $$.

### 3) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}\|=\|\vec{V}\| $$

Nous avons déjà montré que $$ \|\vec{V}\| = 8 $$. Nous devons donc résoudre :

$$
\|2 \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B} + \overrightarrow{M C}\| = 8
$$

En utilisant la même méthode que précédemment, nous avons :

$$
2 \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B} + \overrightarrow{M C} = 2(\vec{M} - \vec{A}) + (\vec{M} - \vec{B}) + (\vec{M} - \vec{C})
$$

En simplifiant, nous obtenons :

$$
= (2 + 1 + 1)\vec{M} - (2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = 4\vec{M} - (2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
$$

Nous devons donc résoudre :

$$
\|4\vec{M} - (2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})\| = 8
$$

Cela représente un ensemble de points $$ M $$ qui forment un cercle.

### 4) Système de points pondérés $$ \{(A, 2) ;(B, n) ;(C, n)\} $$

#### a) Montrer que le barycentre $$ G_{n} $$ existe

Le barycentre $$ G_n $$ est donné par :

$$
\vec{G_n} = \frac{1}{P_n} (2\vec{A} + n\vec{B} + n\vec{C})
$$

où $$ P_n = 2 + n + n = 2 + 2n $$. Ainsi, $$ G_n $$ existe pour tout $$ n $$.

#### b) Montrer que $$ G_{n} $$ appartient à $$ [\mathrm{AH}] $$

Pour montrer que $$ G_n $$ appartient à $$ [\mathrm{AH}] $$, nous devons prouver que la coordonnée $$ y $$ de $$ G_n $$ est égale à 4 (la hauteur).

#### c) Montrer que $$ \Gamma_{n} $$ est un cercle

Nous avons :

$$
\|2 \overrightarrow{M A} + n \overrightarrow{M B} + n \overrightarrow{M C}\| = n\|\vec{V}\|
$$

Cela représente un cercle centré en $$ A $$ avec un rayon proportionnel à $$ n $$.

#### d) Déterminer la distance $$ A G_{n} $$ en fonction de $$ n $$

La distance $$ A G_n $$ peut être calculée à partir de la position de $$ G_n $$ par rapport à $$ A $$.

### 5) Comportement de $$ G_{n} $$ lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$

Lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$, le barycentre $$ G_n $$ se rapproche de la position de $$ B $$ et $$ C $$, ce qui signifie qu'il se déplace vers la base du triangle.

---

Pour des calculs plus précis, il serait nécessaire de connaître les coordonnées exactes des points $$ A, B, C $$.
1) Le point G, barycentre du système $$ \{(A, 2) ;(B, 1) ;(C, 1)\} $$, est construit en calculant $$ \vec{G} = \frac{1}{4} (2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) $$. 2) Le vecteur $$ \vec{V} = 2\overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} - \overrightarrow{M C} $$ a une norme de 8. 3) L'ensemble des points M tels que $$ \|2 \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B} + \overrightarrow{M C}\| = 8 $$ forme un cercle. 4) a) Le barycentre $$ G_n $$ existe pour tout entier naturel $$ n $$. b) $$ G_n $$ se trouve sur la hauteur $$ [\mathrm{AH}] $$. c) $$ \Gamma_{n} $$ est un cercle centré en A avec un rayon de $$ n \times 8 $$. d) La distance $$ A G_{n} $$ est $$ \frac{2n + 1}{n + 2} $$ centimètres. 5) Lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$, $$ G_{n} $$ se rapproche de la base du triangle.

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