The set $$ S=\{(1,2,4),(0,1,2),(0,0,8)\} $$ in $$ _{R^{3}} $$ is linearly independent True False

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لتحديد ما إذا كانت مجموعة $$ S=\{(1,2,4),(0,1,2),(0,0,8)\} $$ في $$ \mathbb{R}^{3} $$ خطية مستقلة أم لا، يمكننا استخدام معادلة الخطية. إذا كانت المجموعة خطية مستقلة، فإن أي مجموعة فرعية من المجموعة الأصلية يجب أن تكون خطية مستقلة أيضًا.

لنفرض أن المجموعة $$ S $$ ليست خطية مستقلة، فإن هناك معادلة خطية من النوع التالي:

$$ a(1,2,4) + b(0,1,2) + c(0,0,8) = (0,0,0) $$

حيث $$ a, b, c $$ هي المعاملات التي يجب أن تكون غير صفر.

لنقوم بحل هذه المعادلة الخطية لمعرفة ما إذا كانت المجموعة خطية مستقلة أم لا.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a+b=0\2a+b+8c=0\4a+2b=0\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=-b\2a+b+8c=0\4a+2b=0\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$a:$$
  $$\left\{ \begin{array}{l}2\left(-b\right)+b+8c=0\4\left(-b\right)+2b=0\end{array}\right.$$
- step3: Simplify:
  $$\left\{ \begin{array}{l}-b+8c=0\-2b=0\end{array}\right.$$
- step4: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}-b+8c=0\b=0\end{array}\right.$$
- step5: Substitute the value of $$b:$$
  $$-0+8c=0$$
- step6: Remove 0:
  $$8c=0$$
- step7: Rewrite the expression:
  $$c=0$$
- step8: Substitute the value of $$b:$$
  $$a=-0$$
- step9: Simplify:
  $$a=0$$
- step10: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=0\b=0\c=0\end{array}\right.$$
- step11: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=0\b=0\c=0\end{array}\right.$$
- step12: Rewrite:
  $$\left(a,b,c\right) = \left(0,0,0\right)$$
النتيجة هي $$ a = 0, b = 0, c = 0 $$. هذا يعني أن المعاملات جميعها صفر، مما يعني أن المجموعة $$ S=\{(1,2,4),(0,1,2),(0,0,8)\} $$ في $$ \mathbb{R}^{3} $$ ليست خطية مستقلة. لذا، الإجابة هي False.
الإجابة هي False.

The set in is linearly independent
True
False

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Other Questions

The set in is linearly independent True False